Une majoration cyclique?

Voici le problème original :
Soient a, b, c, d >= 0, prouver que : a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd >= 2(a²bc+b²cd+c²da+d²ab).

Maintenant, ma question est de savoir si ceci peut être obtenu à partir de Karamata, appliqué à la fonction convexe f(x) = e^x. En d'autres termes, je me demande si tout quadruplet de réels x, y, z, w satisfait



Plus généralement, pour n réels x_1, x_2, ..., x_n, a-t-on toujours


si n >= 4? (Pour n=3, c'est faux.)