Inégalité cyclique, homogène

soient a,b et c des réels strictement positifs.
Montrer que:
a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+c^2)+c^3/(c^2+a^2)>=(a+b+c)/2

c comme celle de :
x^2/(x+y) + y^2/(y+z) + z^2/(z+x) >= 1/2
non ?!!

non ce n'est pas la même chose. celle ci est plus difficile.

f(t)=(1+t)^(-1) est convexe sur IR+


a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+c^2)+c^3/(c^2+a^2)
=af(b²/a²)+bf(c²/b²)+cf(a²/c²)
>=(a+b+c) f( (b²/a+c²/b+a²/c)/(a+b+c))
=(a+b+c)²/(a+b+c+b²/a+c²/b+a²/c)>=(a+b+c)/2

<==> 2(a+b+c)>=a+b+c+b²/a+c²/b+a²/c
<==> a+b+c>=b²/a+c²/b+a²/c
à suivre

Oh NON Mais quand est ce qu'on va étudier La convexitéééé

Bonsoir;
Abdelbaki je ne crois pas que l'inégalité a + b + c >= b²/a + c²/b + a²/c soit vraie quelque soient les réels strictement positifs a , b et c
vu que le terme de droite reste majoré en faisant tendre c vers 0 par valeurs supérieures alors que celui de gauche tend vers +oo
(sauf erreur de ma part)

Vous avez raison Mr.elhor_abdelali
contreexemple: a=b=1 et c=2

Je drais que :
a^3/(a²+b²) = a.a²/(a²+b²) = a.(1-b²/(a²+b²)) = a - b.(ab)/(a²+b²) >= a - b/2 et par symétrie on a le résultat souhaité

Effectivement Abdelali, en général la convexité ne donne pas une meilleure inégalité surtout si la concavité est profonde ( la corde est éloignée de la courbe)

elhor_abdelali a écrit:

Je drais que :
a^3/(a²+b²) = a.a²/(a²+b²) = a.(1-b²/(a²+b²)) = a - b.(ab)/(a²+b²) >= a - b/2 et par symétrie on a le résultat souhaité

oui c'est ma solution aussi

voici une autre méthode que j'ai trouvé, :

posons a^3/(a^2+b^2) + b^3/(b^2+c^2) + c^3/(c^2+a^2) = S
en appliquant caushy shwarz il vient :

S * [ a(a^2+b^2)/a^2 + b(b^2+c^2)/b^2 + c(c^2+b^2)/c^2 ] >= (a+b+c)^2

donc S >= (a+b+c)^2 / (a+b+c+a^2/c + c^2/b + b^2/a)
et puisque abc(a+b+c) >= abc(a^2/c + c^2/b + b^2/a ) d'après l'inegalité de réordonnement
alors
(a+b+c)^2 / a+b+c+ a^2/c + c^2/b + b^2/a) >=(a+b+c)/2
ce qui donne S >= (a+b+c)/2

alors, çava c'est juste ?

l'erreur est là adam tu n'as pas le droit d'ordonner les a, b et c car l'inégalité n'est pas symétrique

comment ça l'ordonner ?

quand tu utilises l'inégalité de réordonnement tu suppose par exemple que a>=b>=c mais la t'as pas le droit car l'inégalité n'est pas symétrique

ça m'est echapé

mais pourquoi pas symétrique ?! bon A+

adam a écrit:

abc(a+b+c) >= abc(a^2/c + c^2/b + b^2/a )

d'ailleurs c'est l'inverse de cette inégalité qui est vrai par Cauchy-shwarz