produit scalaire***bijection

salam
soit f et g :Rn ---- Rn deux applications telles que qq soit x et y de Rn <x,f(y)>=<g(x),y>
Montrer que f est bijetive ssi g est bijective
amusez vous
a+

BSR sarah !!
Celà fait un bon bout de temps !!!!
Je réagis à chaud à ton exo , en disant que ton hypothèse :
** qq soit x et y de Rn <x,f(y)>=<g(x),y> **
est symétrique en f et g
Il suffira alors de prouver seulement une IMPLICATION par exemple :
{ f BIJECTIVE } ====> { g BIJECTIVE }

un tres bel exercice , merci pr l'avoir posté

bon gràce au théoreme de Gram-shmidt on peut se ramenere au cas du produit scalaire canonique dans R^n

fixons x et choisissons y=e_1 ,e_2...e_n respectivement ou {e_1,e_2,...e_n} représente la base canonique, on trouve que :
g(x)= som( <x,f(e_i)>*e_i) de 1 juska n
du meme f(x) = som ( <x,g(e_i)>*e_i ) d'ou f et g sont des applications linéaires

maintenant supposons que f est bijective , montrons d'abord que g est injective
puisque f est injective et lineaire la famille {f(e_i)} (1<=i<=n} est libre et donc base
soit x, tel que g(x)=0 donc <x,f(e_i)>=0 , alors x £ {f(e_i)}(orthogonale)=vect( {f(e_i)} )( orthogonale) , or dim(vect( {f(e_i)} )( orthogonale))= n- dim (vect( {f(e_i)} )) =0 d'ou x=0 alors g est injective
puisque g est injective et lineaire alors la famille {g(e_i)} (1<=i<=n} est libre et donc base ainsi g est surjective CQFD

BSR boujmi3 !!

Je crois que tu travailles là avec des hypothèses sur f et g que $arah n'a pas envisagé à l'époque ou elle a posé l'exo sur le Forum !!
Tu supposes que f et g sont LINEAIRES
Si c'était le cas , alors c'est tout évident puisque f serait la Transposée de g et le résultat découle du Cours .

Amicalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BSR boujmi3 !!

Je crois que tu travailles là avec des hypothèses sur f et g que $arah n'a pas envisagé à l'époque ou elle a posé l'exo sur le Forum !!
Tu supposes que f et g sont LINEAIRES
Si c'était le cas , alors c'est tout évident puisque f serait la Transposée de g et le résultat découle du Cours .

Amicalement . LHASSANE

Bsr
la linearité du f et g vient de la bilinearité du produit scalaire !!

boujmi3 a écrit:

Bsr
la linearité du f et g vient de la bilinearité du produit scalaire !!

Voyons .....
Pour tout a,b dans IR et u,v dans IR^n
On a <x,f(au+bv)>=<g(x),au+bv>=a.<g(x),u> + b.<g(x),v>
=a.<x,f(u)> + b.<x,f(v)>=<x,a.f(u)+b.f(v)> pour tout x dans IR^n

d'ou nécessairement f(au+bv)=a.f(u) + b.f(v)

et c'est pareil pour g par symétrie des rôles .....

En Conclusion : la linéarité de f et g , bien que NON SIGNALEES , est en fait induite par la Propriété Initiale à savoir <x,f(y)>=<g(x),y> qui implique du reste que f=t(g) ( Transposée de g ) .

Amicalement . LHASSANE

je sais pas c'est quoi la tranposée d'une application , je vais me documenter..
Bonne nuit