suite2

Soit (a_n) une suite arithmétique d ou les termes sont strictement positifs tels que:

Lim {n-->+oo}(a_n/n)=1.

On considère la suite (X_n) definie par:

X_n=(1/a_{n+1})+(1/a_{n+2})+.....+(1/a_{2n}).

Montrer que (X_n) est convergente.

Xn=1/an+1 .......................................1/a2n
multiplions et divison par n on aura lim xn=1
alors xn est convergente

voila ma solution prière de la vérifier:
a_n est un suite arithmétique donc a_n est soit décroissante ou croissante et on a pour t n de IN: a_n=nr+a0 tel que r est la base de la suite.
si a_n etait décroissante alors r=<0 donc lim (a_n)=-00 ce qui controverse le fait que les termes de la suite a_n sont tous strictement positif, donc a_n est croissante, il suffit de démontrer que x_n est majorée pour qu'elle soit convergente.

x_n=(1/a_{n+1})+(1/a_{n+2})+.....+(1/a_{2n})
x_n =< n/a_n car a_n est croissante
posons pour tt n de IN y_n=n/a_n
la suite y_n a une limite qui est 1, donc :
qlq soit e>0, il existe p£ IN , qlq n £ IN : n>=p ===> /y_n -1/<e
pour e=1/2 il existe p de IN tel que:
qlq n>=p y_n<e+1=3/2
donc qlq n>=p: x_n =< 3/2
donc (x_n)n>=p est majorée par 3/2.
on pose M=max (x_1, x_2,......,x_p-1)
et N=Max(M,3/2)
don x_n est majorée par N.
résumé: x_n est croissante est majorée par N don elle est convergente.

une autre méthode:
on lim a_n/n=1 et a_n est une suite arithmétique donc:
a_n=nr+a0 tel que r est la base et a0 est le premier terme.
lim a_n/n=lim r + a0/n=r
donc r=1
alors a_n=n+a0
x_n= 1/1+a_n + 1/2+a_n + ... + 1/n+an
x_n= 1/(n+1+a0) + 1/(n+2+a0) + ....+1/(2n+a0)
a0>0 donc
x_n=< 1/n+1 + 1/n+2 + ....+ 1/2n
on pose Sn=1/n+1 + 1/n+2 + ....+ 1/2n
la suite Sn est une suite majorée par 1 ou meme 3/4 (vous pouvez la démontrer)
donc x_n est majorée et elle est croissante donc ele est convergente.

alors est ce juste?