exercice dans les suite

fait le 3 stp



https://2img.net/r/ihimizer/img244/3310/sanstitrerx0.jpg



demontrer que Wn et majoréé de 2

la récurrence fait le travail

nnnn pas la récurrence

bs

niveau terminale
-------------------------------------------------
on utilise les intégrales pour f(x) = 1/x^2 sur [1,n]

on considère les rectangles inférieurs à la courbe
de longueur [p,p+1] et de largeur f(p+1)= 1/(p+1)^2

leur somme = 1/2^2 + 1/3^2 + .......... + 1/n^2
cette somme < intégrale(1----->n) (1/x^2.dx) = [-1/x] entre 1 et n

cette somme < -1/n +1

donc Wn = cette somme + 1 < 2 -1/n < 2

autre niveau
---------------------------------------------------

remarque:

1/(2p)^2 + 1/(2p+1)^2 = (8p^2 + 4p + 1) / 2p^2(8p^2 + 8p + 2)

donc < 1/2p^2

d'autre part Wn est croissante (trivial) en particulier Wn < W2n+1

W2n+1 = 1 + (1/2^2 + 1/3^2) + (1/4^2 + 1/5^2) + .................

................................. + (1/(2n)^2 + 1/(2n+1)^2 )


on a alors:

1 = 1

1/2^2 + 1/3^2 < 1/2.1^2

1/4^2 + 1/5^2 < 1/2.2^2

1/6^2 + 1/7^2 < 1/2.3^2

........................................

1/(2n)^2 + 1/(2n+1)^2 < 1/2.n^2

ajoutons membre à membre:

W2n+1 < 1 + 1/2 [1 + 1/2^2 + 1/3^2 +.............+ 1/n^2]

W2n+1 < 1 + 1/2.Wn

=====> Wn < 1 + 1/2.Wn

Donc : Wn < 2

houssa merci pr la repons

donc si c un nivau terminal pk a t'il dans nos manuel

houssa a écrit:

bs

niveau terminale-------------------------------------------------
on utilise les intégrales pour f(x) = 1/x^2 sur [1,n]

on considère les rectangles inférieurs à la courbe
de longueur [p,p+1] et de largeur f(p+1)= 1/(p+1)^2

leur somme = 1/2^2 + 1/3^2 + .......... + 1/n^2
cette somme < intégrale(1----->n) (1/x^2.dx) = [-1/x] entre 1 et n

cette somme < -1/n +1

donc Wn = cette somme + 1 < 2 -1/n < 2

autre niveau
---------------------------------------------------

remarque:

1/(2p)^2 + 1/(2p+1)^2 = (8p^2 + 4p + 1) / 2p^2(8p^2 + 8p + 2)

donc < 1/2p^2

d'autre part Wn est croissante (trivial) en particulier Wn < W2n+1

W2n+1 = 1 + (1/2^2 + 1/3^2) + (1/4^2 + 1/5^2) + .................

................................. + (1/(2n)^2 + 1/(2n+1)^2 )


on a alors:

1 = 1

1/2^2 + 1/3^2 < 1/2.1^2

1/4^2 + 1/5^2 < 1/2.2^2

1/6^2 + 1/7^2 < 1/2.3^2

........................................

1/(2n)^2 + 1/(2n+1)^2 < 1/2.n^2

ajoutons membre à membre:

W2n+1 < 1 + 1/2 [1 + 1/2^2 + 1/3^2 +.............+ 1/n^2]

W2n+1 < 1 + 1/2.Wn

=====> Wn < 1 + 1/2.Wn

Donc : Wn < 2

Sorry si houssa on peut le faire mm au 1bac:
on a 1/p^2< 1/(p-1)p =1/(p-1) - 1/p pour p>1
dc: Wn <1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+.......+(1/(n-1) - 1/n) dc:
Wn<2-1/n d ou Un<2

Sans les integrales:

1/4 <1-1/2
1/9<1/2-1/3
...
1/n²<1/(n-1)-1/n
--------------------
1/4+1/9+...+1/n²<1-1/n<1
==> 1+1/4+1/9+...+1/n²<2

abdelbaki.attioui
madani


je vous remercie

bjr à tous

mr attioui merci pour la solution courte.

1/p² < 1/(p-1)p < 1/(p-1) - 1/p pour p>1

pas strictement il sont égaux

dans cela 1/(p-1)p = 1/(p-1) - 1/p

1/p² < 1/(p-1)p c d'acc ici


j'ai entendu parler de cette astuce mais j'ai pas bien compris
pk au just l'utilisé


si quellq'un a une repons claire poste la

abdelbaki.attioui


il est tres cool

j'ai bien compris t'as repons merci bcp enfait t'é en quel nivau 1ér anné ou terminal