OLYMPIADES regio 2bac

le 2 eme tu développe tu trouve<=> sum(cyc)a^3+3abc>sum(sym)a^2b<=> shur (n=1)
pour etre explicite ) <=>sum(cyc)a(a-b)(a-c)>=0

le 1 ) prenons (97-x)^1/4=A et B=x^1/4 donc A+B=5
tu eleve a la puissance 4 puis tu utilise le fait precedent <=> x=16 (je pense je n'ai ps calculé)

troisieme exo
on trouve que suite aux solution a l'équation caracteristiques on a :
a_n=x+2^ny
d'apres les premiers données:
a_1=k=2y+x
a_2=5k-2=x+2^2y=x+4y
donc
a_n=(2-3k)+2^n(2k-1)
pour que a_n soit convergente 2k-1 doit etre 0.
donc k=1/2
(k=lambda)

BSR à Toutes et Tous !!
J'ai tout de suite reconnu dans l'exercice 4 , un Problème du Mois proposé par A.ATTIOUI , en voici le lien :

https://mathsmaroc.jeun.fr/probleme-du-mois-f20/probleme-de-juin-2007-t3666.htm

Bonne découverte !!
Comme quoi MathsForum rend service !!!

PS : ils ont oublié de spécifier dans leur énoncé ( Olympiades ) que f et g devaient être NON CONSTANTES !! ).

c vrai et meme il ont oublié qu elles sont dérivables en texte arabe.

n.naoufal a écrit:

le 1 ) prenons (97-x)^1/4=A et B=x^1/4 donc A+B=5
tu eleve a la puissance 4 puis tu utilise le fait precedent <=> x=16 (je pense je n'ai ps calculé)

naoufal t as oublié une sollution :
si on commence par cette manipulation :





donc on voit clairement que x=16 est une sollution .

reste à savoir s il en existe d autre. en fait oui !
la fonction f=RHS-5 n est pas monotone elle change de variation dans [0,97]
par le TVI il est facile de voir qu elle possede deux sollutions , et par une autre manipulation :




81 est l autre sollution recherchée

le deuxieme exo , partie arabe l ingalité est stricte ce qui est faux a=b=c donc c le coté gauche qui gagne tjrs et c est seulement schur , mais je veux vous presenter une preuve simple et magnifique de schur avec AM-GM :











or :



et :



c est fini

j'ai dis je n'ai pas calqulé mais avec ma méthode tu trouvera unne equation du deuxieme degré donc deux solutions je n'ai cité que une car elle parait des la premiere vue.
mais c bon d'utiliser le TVI pour vérifier.
(ta preuve de shur est belle)

exo 3 : aussi j ai trouvé une belle methode sans avoir à passer par l equation caracteristique ...ect :





on pose :



on a :



donc :





on pose :



donc on a :



donc :



donc pour que a_n converge il faut que lambda=1/2

n.naoufal a écrit:

j'ai dis je n'ai pas calqulé mais avec ma méthode tu trouvera unne equation du deuxieme degré donc deux solutions je n'ai cité que une car elle parait des la premiere vue.
mais c bon d'utiliser le TVI pour vérifier.
(ta preuve de shur est belle)

thank's naoufal

n.naoufal a écrit:

le 2 eme tu développe tu trouve<=> sum(cyc)a^3+3abc>sum(sym)a^2b<=> shur (n=1)
pour etre explicite ) <=>sum(cyc)a(a-b)(a-c)>=0

mais est ce que la jurie accepte ces théorèmes ?
BTW : elle équivaut à sum { (a-b)^2(a+b-c)} >=0 ( sauf erreur)

si tu pose que a>=b>=c et tu factorise les deux autres termes etil vont etre heureux de toi car ça deviendra normal.

n.naoufal a écrit:

si tu pose que a>=b>=c et tu factorise les deux autres termes etil vont etre heureux de toi car ça deviendra normal.

Je conné b1 cette preuve , c'est la preuve classique de shcur , jé juste proposé une autre méthode
A+

tu ne diras pas comme meme dans ta copie que c shur (hhhhhh) votre preuve doit comporter a la fin S>=0 ( )
oui ta preuve est suffisante.

memath a écrit:

n.naoufal a écrit:

le 1 ) prenons (97-x)^1/4=A et B=x^1/4 donc A+B=5
tu eleve a la puissance 4 puis tu utilise le fait precedent <=> x=16 (je pense je n'ai ps calculé)

naoufal t as oublié une sollution :
si on commence par cette manipulation :





donc on voit clairement que x=16 est une sollution .

reste à savoir s il en existe d autre. en fait oui !
la fonction f=RHS-5 n est pas monotone elle change de variation dans [0,97]
par le TVI il est facile de voir qu elle possede deux sollutions , et par une autre manipulation :




81 est l autre sollution recherchée

non je pense qu'il y a une seule solution c 16

Pour exo 2 l'inégalité est verifiee sans la conditions cotés d'un triangle, je pense que lexo devrai etre:

pour a,b,c cotés d'un triangle
sum a^3 + 2abc < sum a²b+ab²

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR à Toutes et Tous !!
J'ai tout de suite reconnu dans l'exercice 4 , un Problème du Mois proposé par A.ATTIOUI , en voici le lien :

https://mathsmaroc.jeun.fr/probleme-du-mois-f20/probleme-de-juin-2007-t3666.htm

Bonne découverte !!
Comme quoi MathsForum rend service !!!

PS : ils ont oublié de spécifier dans leur énoncé ( Olympiades ) que f et g devaient être NON CONSTANTES !! ).

je ne vois pas pourquoi , devraient-t-ils présisaient ceci ??