Problème de juin 2007

Soient f,g :R ---> R dérivables et non constantes telles que : Pour tous x,y dans R

f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y) et g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y).

Montrer que si f'(0) = 0 alors (f(x))² + (g(x))² = 1 pour tout x.

Salut,
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Bonjour,
Solution postée,
cordialement


Ma solution au problème du mois de juin

Jamel Ghanouchi
e-mail :jamel.ghanouchi@topnet.tn

Enoncé

f(x + y)= f(x)f(y) - g(y)g(x)

g(x + y)= f(x)g(y)+ f(y)g(x)

f0(0) = 0 f(x)2 + g(x)2 =1

.

Ma solution

1

f(x + x)= f(x)f(x) - g(x)g(x)= f(x)2 - g(x)2 = (2f(x)2 - 1 - 2g(x)2 + 1)

21

= f(x)2+g(x)2-2g(x)2 = -f(x)2-g(x)2+2f(x)2 =(f(x)2+g(x)2-2g(x)2-f(x)2-g(x)2+2f(x)2)

2
11


. (
2(f(x)2 + g(x)2 - 1+2g(x)2 - 2g(x)2 - f(x)2 - g(x)2 +2f(x)2) =
2(2f(x)2 - 1))
1 1

= f(x)2 - g(x)2 + (2g(x)2 - 1)= (f(x)2 + g(x)2 - 1+ f(x)2 - g(x)2)

22
1 1 111


((f(x)2 + g(x)2 - 1)= (f(x)2 - g(x)2)+ (2g(x)2 - 1)= (2f(x)2 - 1) - (f(x)2 - g(x)2))

. 2 2222
et

1 1

(f(x)2 + g(x)2 +1 - 2f(x)2 - 2g(x)2 - f(x)2 - g(x)2 +2f(x)2)= (1 - 2g(x)2)

2211

. f(x)2 + g(x)2 - 1=
2(-f(x)2 + g(x)2 +2g(x)2 - 2)+
2(1 - 2g(x)2))
1 11

= - (2f(x)2 - 1) + g(x)2 - 1= (2f(x)2 - 1) - (f(x)2 - g(x)2)

222
1


(2f(x)2 - 1= (f(x)2 - g(x)2 +2g(x)2 - 2))

. 2
1
. (2f(x)2 - 1=
2(g(x)2 + f(x)2) - 1) . (f(x)2 = g(x)2)
et

f(x)= ±g(x); 8x


donc

±f(x + y)= f(x)f(y) - g(x)g(y)= f(x)g(y) - f(y)g(x)
f0(0) = 0 indique que f possède un extrémum en le point d’abcisse 0. Donc, si
f(x) = 0;
68x
g(x) = 0;
68x
(±f(0) = ±f(x - x)= ±f(-x + x)= f(x)g(-x)-f(-x)g(x)= f(-x)g(x)-f(x)g(-x) = 0)
(g(-x)
= f(-x)
)

. g(x) f(x)
Or

f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)= g(-x)
f(x)2 + f(-x)
g(x)2

g(x) f(x)
= gg(-(xx)
)
(f(x)2 + g(x)2)= ff(-(xx)
)
(f(x)2 + g(x)2)

et

(f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)= f(-x)
g(x)2 + g(-x)
f(x)2)

f(x) g(x)
=(f(-x) f(-x)2g(x)2
+ g(-x) g(-x)2f(x)2
)

f(x) g(-x)2 g(x) f(-x)2

=(g(-x) f(-x)2g(x)2
+ f(-x) g(-x)2f(x)2
)

g(x) g(-x)2 f(x) f(-x)2
g(x) f(x) f(-x)

=(
g(-x)
(f(-x)2 + g(-x)2)=
f(-x)
(f(-x)2 + g(-x)2)=
f(x)
)

soit

f(-x)2 = f(x)2f(-x)2 + f(x)2 g(-x)2

continuons

f(-x) g(-x)

=(f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)=
f(x)
(f(x)2 + g(x)2)=
g(x)
(f(x)2 + g(x)2))

=(f(x)f(-x)2 + f(x)g(-x)2
= f(-x)f(x)2 + f(-x)g(x)2
)

f(-x) f(x)
=(f(x)f(-x)+f(xf)
(
g-
(-x)
x)2
= f(x)f(-x)+f(-
fx(
)
xg)
(x)2
= f(x)f(-x)+g(x)g(-x))

. (g(x)g(-x)= f(xf)
(
g-
(-x)
x)2
= f(-
fx(
)
xg)
(x)2
)
= (
1(f(x)g(-x)2
+ f(-x)g(x)2
))
2f(-x) f(x)
= (
1(f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2
))
2f(x)f(-x)

= (
1(
2f(x)2g(-x)2
) =
1(
2f(-x)2g(x)2
))

2f(x)f(-x)2f(x)f(-x)

2


=(f(x)g(-x)2
= f(-x)g(x)2
)

f(-x) f(x)

et

g(x)f(-x)2 g(-x)f(x)2

(f(x)f(-x)=
g(-x)
=
g(x)
)

= (
1(g(x)f(-x)2
+ g(-x)f(x)2
)=
1(g(x)2f(-x)2 + g(-x)2f(x)2
))
2g(-x) g(x)2g(-x)g(x)


et

(g(x)g(-x)=
1(f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2
))
2f(-x)f(x)


(f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)=
2f(x)2f(-x)2 + f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2
)

. f(-x)f(x)
= (
2g(x)2g(-x)2 + f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2
)
f(-x)f(x)

. (f(x)2f(-x)2 = g(x)2 g(-x)2)
et

(f(x)2 g(-x)2 = g(x)2f(-x)2)

donc

f(x)2(f(-x)2 + g(-x)2)= g(x)2(f(-x)2 + g(-x)2) . (f(x)2 = g(x)2)

or

(f(x)f(-x)+g(x)g(-x)= f(x)f(-x)+f(-x)
g(x)2 = f(x)f(-x)+f(-x)
f(x)2 =2f(x)f(-x))

f(x) f(x)

donc

(f(x)f(-x)= g(x)g(-x)) . (
ff(-
(xx)
)
=
gg(-
(xx)
)
= g(
fx(
)
-
g(
x-)
2
x)
)
(f(-x)2 = g(-x)2)


.

et, de même

(f(-x)f(x)+g(-x)g(x)= g(-x)g(x)+ g(x)
f(-x)2 = g(-x)g(x)+f(-x)g(x)) (f(-x)= g(-x))

g(-x) .

or

(f(-x)2 = f(x)2f(-x)2 + f(x)2 g(-x)2 =2f(x)2f(-x)2) . (2f(x)2 = 1)

et

(g(-x)2 = g(x)2 g(-x)2+g(x)2f(-x)2 =2g(x)2 g(-x)2) . (2g(x)2 = 1) . (f(x)2 + g(x)2 = 1)

3




bonsoir

solution posté par mail en format world

et par mp



on a pour tout x,y dans R :

f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y) et g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)

prenon x=y=0

donc : f(0) = f(0)² - g(0)² et g(0) = 2f(0)g(0)

donc : f(0) = f(0)² - g(0)² et (2f(0)-1)g(0) = 0

donc : g(0) = 0 car si f(0) = 1/2 => 1/4 = -g(0)² (absurde)

alors : f(0) = f(0)² donc f(0) = 0 ou f(0) = 1

maintenant supposant que y=0 donc

f(x) = f(x)f(0)-g(x)g(0) = f(x)f(0) = f(x) car f(0) = 1

parce que si f(0) = 0 => f(x) = 0 (absurde)

et donc f'(0) = 0

remplacer f(x) par cos (x) et g(x) par sin(x)

ce qui donnera : cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
et sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)

on a (cos(0))' = 0 ce qui est tjrs vrai !

et (cos(x)² + sin(x)²)² = 1 est logique

Est-ce-que tte les solutions affichées sont justes???
Sinn Quelle est la solution officielle?

f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y). (1)

g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y). (2)

Posons x=y=0 dans (2) on obtient g(0)=2f(0) g(0) => g(0)=0 ou f(0)=1/2.

Si f(0)=1/2.

Posons x=y=0 dans (1) on obtient f(0)=f²(0)-g²(0) => g²(0)=-1/2 (contradiction)

D’où g(0)=0

Posons x=y=0 dans (1) on obtient f(0)=f²(0) => f(0)=0 ou f(0)=1.

Si f(0)=0.

Posons y=0 dans (1) on obtient f(x)=0(contradiction avec le fait que f n’est pas constante)

D’où f(0)=1.

D’après la définition du dérivé on écrit :

f’(x)=lim (h->0) (f(x+h)-f(x)/h)=

=lim (h->0) (f(x) f (h)-g(x) g (h)-f(x))/h)

= lim (h->0) f(x)*(f (h)-1)/h)-lim (h->0) g(x)*(g (h)/h)

=f(x) f’ (0)-g(x) g’ (0)

=-g(x) g’ (0)

De la même façon on obtient g’(x)=f(x)g’(0)

On considère la fonction h(x)=f²(x)+g²(x).

On a h’(x) =2f’(x) f(x) +2g’(x) g(x) =-2g(x)f(x)g’(0) +2g(x)f(x)g’0)=0;la fonction h est constante d’où

h(x)=h(0)=1.d’où le résultat voulu.



sauf erreur de frappe bien entendu.