#Grand Jeu d'été (2007 ) TSM EST COMENCE ==>

EXERCICE N° 1
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que


Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

NB : le réglement du jeu ainsi que l'exercice proposé est modifié par l'administration
merci pour votre compréhension

Voici ma solution


A=5^1 * 5^3 * 5^5.........*5^2n-1
=5^(1+3+5+.....+2n-1)

on pose
U_n=2n-1

et S=U_1+U_2+U_3+....+U_n
donc S=n^2
d'ou A=5^(n^2)

ainsi Log(A)=n^2Log(5) et on sais ke Log(10^10)=10 (rem: j ai utilise le logarithme decimal)

donc A>10^10 <====>n^2>10/log(5) avec Log5=0.69..

ainsi n^2=16

donc n=4

le plus petit entier naturel n tel que A>10^10 est 4

voici la mienne
on a 5^1*5^5>=5^6>=4^5=2^10
donc 5^1*5^3*5^5*5^7>=2^10*5^10=10^10
on est maintenant sur que 2n-1 est inferieur ou egale a 7
mais il est facile de voir que 2n-1 n'est ni 1 ni 3 ni 5 (elles ne completent mm pas 5^10)
alors la valeure minimale de n est 4

je pense que la rèponce logique pour les èlève du première c est celle de wiles car digital_brain a utilisè logarithme a toi wiles

EXERCICE N° 2
soient a,b,c >0 tels que abc=1
prouvez que :
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(b+a)) >=3/2

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

voila ma rèponce on dèmontre facilement d après I.A.G que ab+ab+bc>=3 aussi on a 1/a^3(b+c) =b²c²/ab+ac mème chose pour les autre et on fait 1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(b+a)) >=b²c²/ab+ac +a²c²/ba+bc + a²b²/ca+cb on pose x=bc y=ac et z=ab donc on doit dèmontrè que x²/y+z +y²/x+z + z²/x+y >=3/2 on pose par symètri de role x>=y>=z donc on a d après sebechev x²/y+z +y²/x+z + z²/x+y >=(x²+y²+z²)(1/y+z + 1/x+z +1/x+y)*1/3 et on a x²+y²+z²>=(x+y+z)²/3 et on a x+y+z>=3 donc x²+y²+z²>=x+y+z donc x²/y+z +y²/x+z + z²/x+y >=(x+y+z)(1/y+z + 1/x+z +1/x+y)*1/3>=3/2 d ou le rèsultat

bonne reponse mais un peut trop longe (l'utilisation de c-s puis de IAG aurait été plus facile) .bon;a toi saiif.

EXERCICE N° 3
montrer que de tout a_1 , a_2 ....et a_n
on a
sum(de i=1 jusqua n-1)rac(a²_i+(1-a_(i+1))²) + rac(a²_n +(1-a_1)²)>=nrac(2)/2

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

elle tres facile celle la
on a 2(a²+b²)>=(a+b)²
donc rac(a²+b²)>=rac(2)/2*(a+b)
on applique ceci sur chaque terme et ca donne le resultat voulu

c est juste

saiif3301 a écrit:

je pense que la rèponce logique pour les èlève du première c est celle de wiles car digital_brain a utilisè logarithme a toi wiles

mais je pense ke ce jeux d ete est fait pour premiere et terminal et meme plus ke ca

alors c est po grave d utiliser le logarithme et d ailleur je pense ke ma demonstration et plus rigoureuse avec tout mon respect a Mr wiles ke je respecte enormement et ke je considere l un des plus matheux du forum

amicalement

mais en doit pas utilisè le prgramme du terminal va lire dans l inscription et les règles du jeu

saiif3301 a écrit:

mais en doit pas utilisè le prgramme du terminal va lire dans l inscription et les règles du jeu

ce n est po mentionner ds le regles

EXERCICE N°4
x1:x2;x3;x4 et x5 sont des nombres distincts de Z qui verifient:
(4-x1)(4-x2)(4-x3)(4-x4)(4-x5)=12
calculez:x1+x2+x3+x4+x5

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

Pour l exo :Mr wiles

x1:x2;x3;x4 et x5 ne peuvent po etre distincts deux à deux

pourquoi pas?
petite remarque:n'oublie sourtout pas qu'ils sont des nombres entiers relatifs

oui vous avez raison moi je travaillais sur N et po Z

merci pour la remarque

alors les x1 x2 x3 x4 x5 £{2;-2;1;-1;3;-3}
et plus precisement il y a deux cas
soit x1 x2 x3 x4 x5 £{2;-2;1;-1;3}
soit x1 x2 x3 x4 x5 £{2;1;-1;-3} (et le nombre 2 va etre attribuer deux fois)
x1+x2+x3+x4+x5=3
ou
x1+x2+x3+x4+x5=1

digital_brain a écrit:

alors les x1 x2 x3 x4 x5 £{2;-2;1;-1;3;-3}
et plus precisement il y a deux cas
soit x1 x2 x3 x4 x5 £{2;-2;1;-1;3}
soit x1 x2 x3 x4 x5 £{2;1;-1;-3} (et le nombre 2 va etre attribuer deux fois)
x1+x2+x3+x4+x5=3
ou
x1+x2+x3+x4+x5=1

ils sont distincts alors pourquoi 2 deux fois

l'idee est la mais la reponse est fausse car on a pas x1*..*x5=12 mais (4-x1)(4-x2)(4-x3)(4-x4)(4-x5)=12
par ailleurs vous avez ecrit:
et le nombre 2 va etre attribuer deux fois
les nombres doivent etre distincts

desole
voici la rectification

alors les (4-x1);(4-x2);(4-x3); (4-x4); (4-x5); £{2;-2;1;-1;3;}
d ou
x1 x2 x3 x4 x5 £{2;6;3;5;1}

x1+x2+x3+x4+x5=17

non regarde mon dernier poste
je dirais plutot que 4-x1 4-x2 4-x3 4-x4 4-x5 £{2;-2;1;-1;3;-3}

il y a 5! permutations de (3;2;-2;1;-1) et ainsi on truvera les valeurs possibles de (x1;x2;x3;x4;x5)
Pour la somme
S=x1+x2+x3+x4+x5=17 (seulement)
Oui 17