On peut supposer (y, z)=1; parce que si p|y, p|z alors p^3|x^2 donc p^2|x donc p^4\y^3=z^2-x^2 donc p^2|y alors p^3|x et on pourrait diviser x par p^3, y par p^2, z par p.
Maintenant réécrivons-la sous la forme (z^2-y)(z^4+z^2y+y^2)=z^2.
Vu que (z^2-y,z^4+z^2y+y^2)|3 alors soit ils sont tous les deux des carrés parfaits, soit tous les deux le triple de carrés parfaits.
Premier cas : y=z^2-t^2.
Alors z^4+z^2(z^2-t^2)+(z^2-t^2)^2=t^4-3z^2t^2+3z^2 est un carré parfait.
Dans le deuxième cas on a y=x^2-3t^3 et alors on obtient de même que 3t^4-3z^2t^2+z^4 est un carré parfait; ce qui, oh surprise, est la même chose que la condition du premier cas, simplement avec z.t échangés.
Donc il suffit juste de prouver que t^4-3t^2z^2+3z^4 ne peut être un carré parfait.
Maintenant (t^2,z^2) satisfont l'équation Diophantienne x^2-3xy+y^2=z^2.
Il y a une méthode générale pour paramétrer les solutions de telles équations :
réécrivons la condition sous la forme 3y(y-x)=(z+x)(z-x) ou (3y)/(z+x) = (y-x)/(z-x) = m/n, fraction irréductible.
Donc 3yn=mz+mx et (y-x)n=(z-x)m,
3ny-mx=mz, my+(n-m)x=mz.
Maintenant, prenons ça comme un système en x, y.
Et en fait (y-x)m=(z-x)n.
Donc en résolvant le système pour x,y on obtient x=z (3mn-m^2)/(3n^2+m^2-3mn)
y=z (4mn-m^2)/(3n^2+m^2-3mn)
en fait x=z (3n^2-m^2)(3n^2+m^2-3mn)
Maintenant vu que x,y doivent être des entiers et que m,n sont premiers entre eux on en déduit que (3n^2-m^2,3n^2+m^2-3mn)|3.
Donc on a deux cas :
a) 3 ne divise pas m.
Dans ce cas z=3n^2+m^2-3m donc x=3n^2-m^2, y=4mn-m^2.
Donc on doit prouver que x,y ne peuvent être tous deux des carrés parfaits.
Si y est un carré parfait alors m, 4n-m sont des carrés parfaits donc m=u^2, 4n=u^2+v^2.
Donc 3n^2-m^2=z^2 donc m^2+z^2=3n^2, impossible.
Deuxième cas, 3 divise m, alors z=(m^2+3n^2-3mn)3.
Posons m-> 3m pour que ce soit plus simple.
Alors 4mn-3m^2, n^2-3m^2 doivent être des carrés parfaits.
Donc soit m, 4n-m sont des carrés parfaits; auquel cas alors 4|m donc m=4u^2, n=u^2+v^2 alors (u^2+v^2)^2-48u^4 est un carré parfait.
Donc (u^2+v^2-k)(u^2+v^2+k)=48u^4 ce qui implique {u^2+v^2-k, u^2+v^2+k}={a^4, 3b^4} alors u^2+v^2=2(a^4+3b^3)
2(a^4+3b^4) en fait
Mm.. je pense que j'ai fait une erreur... cherchons-là.
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