Séries entières

Comment peut on determiner le rayon de convergence d'une serie entiere dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros?


Donner une methode pratique pour trouver le dSE de la fonction tangente au voisinage de 0.

Pour la premier je crois que R peut prendre nimporte quelle valeur >° il suffit juste de regarder les series sum , n>0 ( (z:a)^n²) avec a un reel >O .
cette serie est verifie claiement lhypothese .
et son rayon R est bien >=a .. mais je pense pas que c'est ce qu on cherche par ce genre de question . Je reflechirai plus tard ,
Et pr la deuxieme question c super ultra classique je laisse les interessés .
a+

Pour la 1ere question, pas sûr qu'il existe une méthode générale... ^^'
Pour la 2eme, faire joujou avec la dérivée!

Soit I={n / a_n=0}. On suppose I infini.

Si IN\I fini ==> polynôme et R=+00
Si IN\I infini ==> IN\I=(f(n))_n avec f : IN --->IN strict croissante.
==> ( par définition Abel) R=sup {r>=0 / (a_n r^n) bornée}

==> R=sup {r>=0 / (a_f(n) r^f(n)) bornée}

Le critère de Cauchy écrit sous sa forme limite supérieur fonctionne toujours. En effet tu as :

1/R = limsup (a_n)^{1/n}

http://www.mathsup.ouvaton.org

Formule de Hadamard , HORS programme Spé ( à ma connaissance)