Une suite. 2^n > a_0.

Soit a_0 € N*.
La suite (a_n) est définie par :
a_{i+1} = a_i/2 si a_i est pair;
a_{i+1} = 3a_i - 1 si a_i est impair. (pour i = 0, 1, 2, ...)

Montrer que si n €N* est tel que a_n = a_0, alors 2^n > a_0.

Hello Mathman,

Dans la chaîne conduisant de a_0 à a_(n-1), on considère que l'on rencontre p nombres pairs et i nombres impairs (avec n = p+i). Comme chaque nombre impair est nécessairement suivi d'un nombre pair (x impair ==> 3x-1 pair), on a bien sûr p>=i

Si on appelle f(x)=x/2, g(x) = (3x-1)/2 et h(x) = 3x/2, on voit que f, g et h sont monotones croissantes et que h o f = f o h > f o g > g o f.
Donc h^[i] o f^[p-i] (a_0) >= a_n >= g^[i] o f^[p-i] (a_0) = 3^i/2^p a_0 - (3/2)^u + 1
Donc 3^i/2^p >= a_n > 3^i/2^p a_0 - (3/2)^i (avec première inégalité stricte si i>0)

Si a_n = a_0 pour n > 0, on a donc nécessairement i > 0 et 3^i/2^p a_0 > a_0 > 3^i/2^p a_0 - (3/2)^i
==> 3^i > 2^p et a_0 < (3/2)^i / (3^i/2^p - 1)

Or, 3^i > 2^p
==> 3^i > 2^p + (3/4)^i (puisque (3/4)^i < 1)
==> (3/2)^i < 3^i 2^i - 2^n
==> (3/2)^i < (3^i/2^p - 1)2^n
==> (3/2)^i / (3^i/2^p - 1) < 2^n
==> a_0 < 2^n

CQFD

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Patrick