ineq inspirée d'un exo de manuel scolaire

soit n un entier supérieur à 1 MQ:

essaiez de pas utiliser l'analyse
A+

il suffit de montrer que
(n!)^3>(n-1)^n pour tout n >=1
on sait que (1+1/n)^n<e
on deduit que
n!>((n+1)/e)^n
n!^3>((n+1)/e)^3n
il faut que
((n+1)/e)^3>n-1
on a
((n+1)/e)^3>((n+1)/3)^3
il faut que
(n+1)^3>27n-27
n^3+3n²+3n+1>27n-27
n^3+3n²-24n+28>=0 pour tout n >=1
donc effectivement pour tout n>=1
(n!)^3>(n-1)^n
donc (n!)^(3/n)>n-1==>1-(n-1)*1/(n!)^(3/n)>0 (1)
et on sait que
1/k²<1/k-1-1/k on somme on obtient
sigma 1/k²<1-1/n (2)
on somme 1 et 2 on obtient le resultat voulu
sauf erreur

L a écrit:

sigma 1/k²<1-1/n (2)

n=1?

ah parce que j'ai vu superieur a 1 ,'javoue que c'est faux mais je crois que ca peut se soigner
tout ce qui a etait dit en haut est vrai pour n>=2
et comme l'inegalite est vraie pour n=1 donc..
(je sais qu'il y a mieux ^^)
sauf erreur

L a écrit:

ah parce que j'ai vu superieur a 1 ,'javoue que c'est faux mais je crois que ca peut se soigner
tout ce qui a etait dit en haut est vrai pour n>=2
et comme l'inegalite est vraie pour n=1 donc..
(je sais qu'il y a mieux ^^)
sauf erreur

mais "sum ( 1/k^2) < 1-1/n" est fausse pr tt n naturels , car clairement la somme est >= 1

ah ok de k=1 desole alors

Je suuis très desolé , car j'ai commis une erreur de frappe , c'est rectifié maintenant

ceci est une jolie conséquence
avec les memes conditions :


e: la constante de napier

tres jolie neutrino :

on sait que :

donc :



ce qui donne :



par AM-GM :



donc : (*)



d autre part on a :



donc : (**)



d'apres (*) et (**) il suffit de montrer que :



qui equivaut :



qui est facilement demontrable (je crois)

non je crois que ma derniere inegalité est fausse (n-->oo)
mais je laisse ma preuve si kelkun veut la terminer
car moi jé someil