division eucli.

Salut,
Voici un exo:
n de N* trouver lba9i de la division euclidinne de n² sur 7.
A+

bonjour

la plus simple méthode : les congruences ( modulo 7)

si n=0 (7) =====> n^2 = 0 (7)
si n=1 (7) =====> n^2 = 1 (7)
si n=2 (7) =====> n^2 = 4 (7)
si n=3 (7) =====> n^2 = 2 (7)
si n=4 (7) =====> n^2 = 2 (7)
si n=5 (7) =====> n^2 = 4 (7)
si n=6 (7) =====> n^2 = 1 (7)

Donc les restes possibles sont : 0 , 1 , 2 , 4

je me permets d'ajouter un autre
trouver le reste de la division euclidienne de x^3 par x²-x+1
en deduire celui de x^2007 par x²-x+1

L a écrit:

je me permets d'ajouter un autre
trouver le reste de la division euclidienne de x^3 par x²-x+1
en deduire celui de x^2007 par x²-x+1

BJR L !!
Je suis de passage et je n'hésite pas !!
x^3=x.{x^2-x+1}+{x^2-x}
x^2-x=1.{x^2-x+1} -1
d'ou :
x^3={x+1}.{x^2-x+1} - 1
Donc le QUOTIENT est x+1 et le RESTE est -1 .
Par congruence ....
2007=3.(669) donc x^2007={x^3}^669
x^3 = -1 Modulo (x^2-x+1)
donc
x^2007 = (-1)^669 = -1 Modulo (x^2-x+1)

Is It Right ??????

bonjour
une petite mise au point

r le reste modulo (b) de a est : le reste de la division euclidienne : o=< r < b

donc
si x > 0 il faut remplacer le (-1) par r =x^2 - x

tu as bien : 0 =< x^2 - x < x^2 - x + 1

salut

je vous propose:

trouver (sans calculatrice)

le reste de la division euclidienne par 7 de :

1 22 333 4444 55555 666666 7777777

houssa a écrit:

bonjour
une petite mise au point ....

BJR houssa !!
Dans ma tête , celà a fonctionné comme pour les POLYNOMES ; auquel cas c'est juste !! Car j'ai répondu à L , dont je sais qu'il est en BACSM sans preter attention au fait que la question a été posée dans le Salon des Secondes TC . J'en suis navré !
Maintenant , je pense que dans Z , celà est toujours valable aussi puisque la condition sur le reste s'écrit 0<=|r|<b on suppose le diviseur b dans N* .
Et pour ce qui est du résultat dans IN , je suis fully d'accord avec Vous !!