limite exponentielle : ==> besoin de solution

calculer : lim(x=>+l'infini) x²(exp(1/x)-exp(1/(x+1))

TAF sur la fonction exp(1/x) dans l'intervale ]x,x+1[

Salut ,


soit x>0

on applique le Taf sur la fonction exp(x) sur l'intervalle ]1/(x+1);1/x[

exp(x) est continue sur [1/(x+1); 1/x] , et dérivable sur ]1/(x+1);1/x[

donc selon le théorème des accroissements finis il existe c de ]1/(x+1);1/x[

tel que : exp(1/x)-exp(1/(x+1)=1/(x²+x) * exp(c)

Or , 1/(x+1)<c<1/x ==> exp(1/(x+1))<exp(c)<exp(1/x)
==> exp(1/(x+1))/(x²+x)<exp(1/x)-exp(1/(x+1) < exp(1/x)/(x²+x)

==> exp(1/(x+1))/(1+1/x)<x²(exp(1/x)-exp(1/(x+1))<exp(1/x)/(1+1/x)

et puisque lim(x->+oo)exp(1/(x+1))/(1+1/x)=lim(x->+oo)exp(1/x)/(1+1/x)=1

on a : lim(x=>+l'infini) x²(exp(1/x)-exp(1/(x+1))=1