Exponentielle

Determiner le Max de a tel que :

Exp(x) >= ax

a=e pas trop difficile à trouver

Salut BTBICL,

Comment tu fais ? Etude de fonction ?

Merci !

Oui , L'etude de la fonction e^x /x

tu peut facilement remarquer que a=e
mais pour le prouver :
si x=<0 c évident
si x>0
on connait tous que
ln(x)=<x-1 <=> x =< exp(x-1) <=> e.x=< exp(x)
or, si a>e et en pose x=1 :
e = exp 1 >= a > e : contradiction!
donc a=e.

En posant g(x)=exp(x)/x on trouve g'(x)=exp(x)(x-1)/x² qui s'annule pour x=1

On vérifie que c'est le minimum de la fonction lorsque x>0 et que ce minimum vaut f(1)=e

donc pour tout x > 0, f(x) > e soit exp(x) > xe

Lorsque x<0, il est clair que a=e convient puisque exp(-x)>0 et ex < 0