exponentielle

Bonsoir,
Soit n un entier positif. Montrer que tous les coefficients du développement en série entière de e^{x}-(1+x/n)^n sont positifs.

AA+

Bonjour
Posons f(x)=e^x - (1+x/n)^n
On a e^x=1+x/1!+x²+/2!+...+x^n/n!+....
(1+x/n)^n=C(0,n)+C(1,n)x/n+C(2,n)x²/n²+....+C(n,n)x^n/n^n.
Où C(k,n) est le coeficient binomiale.
Alors
f(x)= (1-C(0,n))+...+(1/n!-C(n,n)/n^n)x^n+x^(n+1)/(n+1)!+...
Il est clair le coefficient d'ordre k>n est positif.
Pour k de 0 à n on a le coefficient d'ordre k est:
1/k!-C(k,n)/n^k = ( (n-k)!n^k-n!)/k!n^k(n-k)!
Or n!=(n-k)!(n-k+1)...n =< (n-k)!n^k
D'où le résultat
AA+