Joli preuve du théorème de Bolzano.

Mq de toute suite réelle on peut extraire une suite monotone,
en déduire le théorème de Bolzano.

si Un atteint un nombre fini de terme alors elle est bornée et c'est gagné

sinon on fixe un M€R et on considere sans perdre de géneralité que l'ensemble A={x€R, Un>=x} en une infinité d'entiers , est infinit

du coup il nous reste de dire que si Un n'est pas majorée alors on peut construire une sous suite croissante , sinon la suite dans notre A est bornée et là on continue comme si on démontrait Bolzano Weirtsrass

Oui, mais le but de l'exercice c'est de construire la sous suite monotone rigoureusement; et de passage en déduire le théorème de bolzano ie que si la suite est bornée on aura d'après le théorème des suites monotones la convergence d'une suite extraire.

BJR callo !!

Pour ta question , je pense qu'à part les DEUX CAS ou la suite {un}n n'est pas bornée ( le cas non minorée se ramenant au cas non majorée en prenant la suite opposée ) , on ne peut pas fabriquer de suite extraite MONOTONE de la suite initiale qui reste convergente , je te renvois à la Démo Classique ( Sup ou 1ère Année Fac ) ici :

http://www.math-info.univ-paris5.fr/~graff/COURS/L1_S1/cours/su/node26.html#DEM11

le procédé constructif ne permet pas de rendre monotone la suite extraite !!
Merci pour l'Exo !!! & Bon Courage dans ta Prépa Parisienne !!!

Hum... J'avais réussi à démontrer ça en spé, assez subtil d'après mes souvenirs...
Mais bon, je laisse à ceux qui sont intéressés ^^

salut mr lhassan,
tout d'abord je vous remercie pour votre soutien ,
je connais cette méthode, par dichotomie , mais celle que je propose utilise un autre moyen , celui des suites monotones.
en effet, on pourra extraire une suite monotone en considérant E={n£IN/ qlq soit p £ IN p>n => U_p=<U_n} et raisonner selon la finitude ou non de cet ensemble, s'il est fini on peut extraire une suite croissante, si non une suite décroissante.
(pour l'introduction de cet ensemble c l'idée du prof , car après avoir fait la démonstration par dichotomie que j'ai pas appréciée , je me suis dit si on pouvait extraire une suite monotone , et mon prof m'a initié à considérer cet ensemble)