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Sujet: Un joli théoreme du à un Vietnamien Lun 23 Juil 2007, 17:36
Soient a, b et c des reels positifs tel que:a+b+c=1. on a alors : ab+bc+ca<=1/3. donc il existe q>=0 tel que:ab+bc+ca=(1-q^2)/3. Si q=0 alors ab+bc+ca=1/3 et alors abc=1/27. Maintenant supposons que q>0. En considerant la fonction : f(x)=(x-a)(x-b)(x-c) montrer que: (1+q)^2(1-2q)/27<=abc<=(1-q)^2(1+2q)/27.
radouane_BNE Modérateur
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Sujet: Re: Un joli théoreme du à un Vietnamien Lun 03 Sep 2007, 19:23
bon salut Mr kaderov et merci pour cet exercice! on considere la fonction f(x)=(x-a)(x-b)(x-c) on a donc
f(x)=x^3-(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)*x-abc
=x^3-x²+(1-q²)/3*x-abc la fonction f est évidemment continu et dérivable => f'(x)=3x²-2x+(1-q²)/3. f'(x)=0=>x(1)=(1+q)/3 et x(2)=(1-q)/3 f'(x)<0 =>x(2)<x<x(1) f'(x)>0=> x>x(1) ou x<x(2) f admet trois racines. f((1+q)/3)=(1-q)²(1+2q)/27-abc>=0.
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