Exercice d'un ds

soit a et b deux nombre réel strictement positif et que a+b=1
démonter que

ln2 supérieur/égal aln(1/a)+bln(1/b)

salut killer !!!!
utiliser la CONCAVITée de la fonction ln......
_________________________________________________________
lahoucine

c'est-à-dire ???

une application de Jensen:
aln(1/a)+bln(1/b) =< ln(a*1/a +b*1/b)=ln2

bonjour à tout le monde

veuillez accepter ma réponse:

je pose f(x) = -x.ln(x) - (1-x).ln(1-x) pour x€]0 , 1[

f'x) = ln[ (1-x) / x]

avec un tab . de var . ======> f est maximale en 1/2 , max(f) = ln(2)

or a et b sont > 0 et , a+b = 1 ====> a et b E]0 , 1[

f(a) = -a.ln(a) - (1-a).ln(1- a) =< ln(2)

====> a.ln(1/a) + b.ln(1/b) =< ln(2)

-----------------------

Mersiii khoyaaa
tout a fait just !!!

merci pour votre réponse
et merci professeur houssa pour votre aide

Très intéressant Mr Houssa
Merci

Ya pO une autre methode ???

une autre maniere (concavite de la fonction xln(x)sur [0,1] (a vous de le remarquez)
apres qu on reecrit l inegalit comme suit ;
aln(a)+bln(b)=< ln(1/2)
1/2(aln(a)+bln(b))=< 1/2(a+b)ln(1/2(a+b))<=>aln(a)+bln(b)=<ln(1/2(a+b))<=> cqfd!
sauf erreur