la plus trés facile equation fonctionnelle

1) déterminer tt les fonctions définient sur ]0;+00[ par:



2) déterminer s'il existe l'extremum de cette fonction!!!

bonne chance.
PS: c'est une finction trés connue chez tous les matheux mais il faut démontrer ou non???

merci
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lahoucine

BJR Lahoucine !!

A chaud , car on ne peut pas oublier cette propriété quand on a fait de Bonnes Maths dans sa Vie !!
Une solution de ton équation fonctionnelle est la fonction Eulérienne x -----> GAMMA(x)
dont Weierstrass parle dans son Topic tout récent !!

https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/fonction-gamma-t11811.htm#101938

Cette fonction là , est un prolongement à IR+* de la fonction " FACTORIELLE" n ----> f(n)=n! de IN dans IR+.
Elle est de classe C_Infinity sur son domaine ; elle-même est prolongeable en une fonction analytique dans le champ complexe !!!

Salut Mr Lhassane !!!

oui c'est vraie d'abord j'ai signalé que c'est une fonction trés UTILE et CONNUE chez les grands matheux bon ma question est qu'il existe des autres solution???

et d'autre part SI on considére que la seule solution c'est la fonction f(x) = a Gamma(x) (a£IR) alors il faut déterminer les extremums de cette fonction.

et merci.
PS: j'esseyer toujours de faire des bonnes maths ICI c'est aux niveau des cours ensignés mais comme une culture générale.
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LaHoUcInE

Bonjour ;

Sans hypothèses supplémentaires telles que la continuité , la dérivabilité , la monotonie . . .
je crois qu'il en existe une bonne infinité

en effet si f : ]0,1] --> IR est une application quelconque on peut prolonger f à ]1,+oo[ en posant :

pour tout n£IN* et pour tout t£]0,1] , f(t+n) = (t+n-1)...(t+1)tf(t) sauf erreur bien entendu

f(x) = (x-1) !

f(x)=0 pour tt x £ R