Les exercices d'oraux , pour les intéressés .

Je commencerai à les poster parce qu'on me l'a demandé ... et je les re-posterai + des compléments lors la période des Oraux.

Premier exo , d'analyse d'école Normale Supérieure :

soit (U_n) une suite à valeurs réelles strictement positive vérifiant :

U_(n+m) >= U_n + U_m qlq soient m , n dans IN

cette propriété se résume en : (U_n) est sur-additive.

Mq (U_n/n) converge vers sup {U_n/n / n£ IN* }

BSR callo !!

Il en existe une version analogue pour les suites sous-additives :

<< Soit (U_n) une suite à valeurs dans IR+ vérifiant :
U_(n+m) <= U_n + U_m qlq soient m , n dans IN
cette propriété se résume en : (U_n) est sous-additive.
Mq (U_n/n) converge vers Inf {U_n/n / n£ IN* } >>

J'attends la réaction des Prépas avant de Poster ....
Portes-Toi Bien !!!

stifler a écrit:

Bonjour Messieurs,

Ma solution est la suivante :
Notons alfa=inf_(n>=1)(U_n/n)
On distingue deux cas alfa fini et alfa infini
Supposons alfa fini , A epsilon>0 il y a donc un entier p pour le quel alfa<(U_p/p)
n=kp+r ou 0=
d'où U_n/n=<(k/(kp+r))*U_p + U_r/n =< U_p/p +(Max{U_0,...,U_(p-1)}/n)=< alfa +2epsilon
pour tout n assez grand , ceci tenant pour tout epsilon>0 et voila le résultat
On raisonne de façon analogue pour le cas alfa=-inf , Fixons un A>0 il existe un entière tel que (U_p/p)<A .....

BJR stifler !!
Merci pour ta réponse !!
Je me permets de dire que alfa=inf_(n>=1)(U_n/n) existe et ne peut être -oo car les U_n/n forment , lorsque n décrit IN* , une partie non vide et minorée de IR+ donc ... alfa est dans [0;+oo[.
Par ailleurs , il y a dans ta démo , les ingrédients qu'il faut utiliser mais il faut mettre tout celà dans une réponse bien rédigée et claire !!
C'est très important et excuses-moi encore pour ces observations !!

BJR-BSR stifler !!

Tu sais , je porte désormais des Gants de Velours lorsque je viens sur le Forum parce qu'il y a des personnes qui n'acceptent pas que d'autres leur fassent des remarques ou observations !!
Celà dit avec Toi , je suis fixé !!

Pour l'exercice , on peut tirer de l'exo de callo et de la version que j'ai proposée la conclusion suivante :
Si une suite {un}n d'éléments de IR+ qui est à la fois sur_additive et sous_additive alors elle devrait converger vers :
Sup{ un/n ; n dans IN*}= Inf{ un/n ; n dans IN*} par l'unicité de la LIMITE et par conséquent
on a , pour tout n , un/n = C avec C constante d'ou un=C.n pour tout n entier .
On récupère alors la forme générale des suites {un}n à termes postifs vérifiant u(n+m)=un+um pour tous n,m dans IN .