Zéros d'une équation différentielle.

Soit I un intervalle , soient a , b deux fonctions continues de I dans IR .
Considérons l'équation différentielle:
(1) y " = a(t ) y + b(t) y'
Soit f une solution de (1) non identiquement nulle sur I.
Montrer que pour tt intervalle fermé K de I , f n'admet qu'un nombre fini de zéros.

Utiliser Le théorème de Cauchy-Lipschitz
( par unicité ou par conditions initiales deCauchy) qui dit:
si f est solution de (1) et qu’il existe t_0 de I tel que
f(t_0) = f'(t_0) = 0, alors f est identiquement nulle sur I.

Soit Z={x de I / f(x)=0} et K un segment
Si ZnK est infini il possède un point d'accumulation x
il existe une suite (xn) 2 à 2 distincts lim xn=x
Rolle ==> pour tout n, f'(yn)=0 pour un certain yn entre xn et x(n+1)
donc lim yn=x et f'(x)=0 CQFD

C'est tout à fait ça !

callo >> Sauf erreur de ma part dans ton énoncé il n'est pas dit que K est un segment

Bonjour Abdelali
Je pense qu'l veut par intervalle fermé un segment sinon ce n'est pas vrai en général dans IR+ ou IR qui sont des intervalles fermés

Bonjour abdelbaki ;
oui je le pense aussi

En effet je désignais par K intervalle fermé , un segment de IR...