Résoudre dans Z*

1) x² + y^3 = 7

2) x^5 + y^5 = 4 xy

3) x² + y² = 3 z²

c'est un system ou bien des équation distincte????

équations

pour 1) :

considerons P(x)=x²+(y^3-7)

delta=-4(y^3-7) (delta le discriminent de P)

si delta=<0 <==> y>=2 P n a pas de racines reels donc pas de racines entieres.

donc y=1 ou y=0 et pr les deux cas on a pas de soltion pr x donc l equation n admet pas de soluces

2) si x et y ont le meme signe on peut ramener l equation a une autre avec inconnus positifs , donc supposons dans ce cas que x et y sont positifs.

on a par l inegalité entre moyennes arithmtiques et geometriques :

x^5+y^5+3>=5xy

donc x^5+y^5=4xy>=5xy-3 d ou xy=<3

donc (x,y)€{1,2,3}² et on verifi qu il n y a pas de solutions dans ce cas.

maintenant supposons que l un des deux inconnus soit negatifs y par exemple et posons :

x=a>0 et y=-b<0

on a :

a^5-b^5=-4ab

donc (b-a)(a^4+a^3b+a²b²+ab^3+b^4)=4ab

aussi par l inegalité AM-GM :

a^4+a^3b+a²b²+ab^3+b^4>=5a²b²

donc b^5-a^5=4ab>=5a²b²(b-a)

d ou ab(b-a)=<4/5 donc pas de sollutions dans Z*

donc on deduit que l equation n a pas de sollutions.

3) soit d=PGCD(x,y,z)

et x=dx' , y=dy' , z=dz' avec PGCD(x',y',z')=1

on a x'²+y'²=3z'²

il est clair que si 3 divise x'² ou y'² il divise x' ou y'

donc x'²+y'² est divisible par 3² et finalement z' est divisible par 3

donc PGCD(x',y',z')#1 ce qui contredit avec les données , donc l equation n admets pas de sollutions entieres non nulls.

Done !

salam pour memath

1) y dans Z* :

et si y entier négatif ?????? delta > 0


.

memath a écrit:

3) soit d=PGCD(x,y,z)

et x=dx' , y=dy' , z=dz' avec PGCD(x',y',z')=1

on a x'²+y'²=3z'²

il est clair que si 3 divise x'² ou y'² il divise x' ou y'

donc x'²+y'² est divisible par 3² et finalement z' est divisible par 3

donc PGCD(x',y',z')#1 ce qui contredit avec les données , donc l equation n admets pas de sollutions entieres non nulls.

Done !

sinon ..

mehdi! c mal rédigé!
on suppose qu'il existe des entiers stric, positifs tels que:x² + y² = 3 z²**
Soit (a,b,c) une solution qui minimise la somme dans N*.
3|a^2+b^2 implique 3 | a ET 3|b .
posons a=3x et b=3y ** se réecrit 3(x² + y²)=c^2 donc 3|c.on pose c=3z
on obtient que x² + y² = 3 z² ce qui signifie que(x,y,z) est une solution aussi.
x+y+z stric.inférieur à a+b+c , la contradiction apparait.
pour Z* la mm chose on travaille dans N* en posant linvetse du signe.

salam

plus simplement : x²+y²=3z²

soit d un diviseur commun à(x,y,z)

===> l'équation sera simplfiée par d²

donc on suppose : pgcd(x,y,z)=1

congruences modulo 3:

x²+y² = 0 (3) , or x² ou y² sont = 0 ou 1 (3)

donc une seule possibilité : x=0 (3) et y=0 (3)

===> x=3x' et y=3y' ===> 9(x'²+y'²) = 3z²

===> 3(x'²+y'²) = z² ===> 3 divise z

====> 3 divise (x,y,z) absurde.



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suite:

l'unique solution (0,0,0)

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