Equation differentielle

Résoudre : y'=1/(y-x^2) , y(0)=0

On demande de résoudre cette équation différentielle

sur quel intervalle de IR ?

Une idée pour une résolution locale

condition nécéssaire :

soit f une solution et a un réel tel que f(a)#a²
par continuité , la fonction t ---> f(t) - t² garde le signe de f(a)-a² sur un intervalle ouvert I contenant a
donc f' garde un signe constant sur I et f est strictement monotone sur I
f réalise donc une bijection de I sur un intervalle ouvert J de IR
si on note g sa bijection réciproque il est facile de vérifier que pour tout x£J , g'(x)=x-g²(x)
si G est une primitive de g sur J on a , en posant h = exp G , g = h'/h
et h est solution sur J de l'équation différentielle linéaire du second ordre : y'' = xy

à suivre ... sauf erreur bien entendu

BSR à Vous !!

Ce qui me dérange dans l'équation proposée par Weierstrass est la condition initiale y(0)=0 car le point (0,0) est une SINGULARITE pour la fonction (x,y) -----> f(x,y)=1/{y-x^2}
En fait , il y a toute une parabole faite de singularités pour f et Mr Elhor , vous prenez bien soin de l'éviter lorsque vous écrivez :
<< a un réel tel que f(a)#a² >> .

Sans quoi , ce serait une gentille équation de type Cauchy-Peano-Arzelà
résoluble localement .....

Sachant que l'ensemble des solutions de l'équation (H) : y'' = xy (sur J) est un IR-espace vectoriel de dimension 2

il suffit pour la résoudre de connaître deux solutions non proportionnelles
il serait peut-être intéressant de chercher les solutions sous forme de somme de série entière

et si mes calculs sont bons il existe effectivement deux solutions sommes de séries entières h1 et h2
définies sur IR tout entier (rayon de convergence infini) et non proportionnelles !

à suivre ... sauf erreur bien entendu

elhor_abdelali a écrit:

sur quel intervalle de IR ?

BJR Mr Elhor !!
Compte tenu de la condition initiale imposée dans l'équation de Weierstrass
il me semble qu'il faille chercher une courbe intégrale définie sur un voisinage de (0,0) ?