Pas très évident ...

Déterminez toutes les fcts dérivables en 0 définie sur IR et vérifiant :
pour tt x £ IR f(2x)=f(x)²

On note f'(0)=a . Remarquer que f>=0 sur IR
f(0)=f(0)² ==> f(0)=1 ou f(0)=0

si f(0)=1
soit x dans IR ==> f(x)=f(x/2)²=f(x/2²)²*²=...=f(x/2^n)^(2^n)
Donc f(x)>0 car f(0)=1 ==> f >0 sur un voisinage de 0 et x/2^n est dans ce voisinage pour n assez grand.
ln(f(x))=2^n ln(f(x/2^n)) = x ln(f(x/2^n))/(x/2^n)
ceci donne , qd n --> 00 ln(f(x))= ax ==> f(x)= exp(ax)

si f(0)=0
pour x#0 , f(2x)/(2x)=(x/2)(f(x)/x)²
==> qd x--> 0 , on aura f'(0)=0=a
je vous laisse continuer ...

Oui c'est ça ...
J'avais procédé autrement , j'ai montré d'abord que si f s'annule alors elle est nulle en utilisant la densité des nombres dyadiques puis j'ai effectué le changement g = lnf