determiner le plus grand nomb.....

salut
determiner le plus grand nombre qui ne puisse pas s ecrire sous la forme
15a+21b+35c

Bonjour,

D'abord une remarque : si a, b et ce peuvent être négatif, tout entier relatif est accessible :
n = 15*n + 21*n + 35*(-n)

Je m'intéresse donc au cas où a, b et c sont des entiers naturels (donc positifs ou nuls)

Si on a x = 15a + 21b + 35c, on voit tout de suite que x = a [7].
Ecrivons donc x=7y+u et a=7v+u :

7y+u = 15(7v+u) + 21b + 35c
y = 15v + 2u + 3b + 7c
et donc :
(1) : x = 15u + 7(15v + 3b + 7c)

Il est facile de voir que :
12 + 3k = 3(4 + k)
13 + 3k = 3(2 + k) + 7
14 + 3k = 3(0 + k) + 7*2
et qu'il n'existe pas de valeurs positives ou nulles v, b et c telles que 15v + 3b + 7c = 11

Donc 15v + 3b + 7c ne peut valoir 11, mais peut valoir toutes valeurs supérieures

Prenons, dans (1), u = 6 ==> 15*6 + 7*11 est inaccessible ==> 167 est inaccessible

Mais : 15*6 + 7*(12+k) est accessible pour tous k
De même : 15*5 + 7*(12+k) est accessible pour tous k
De même : 15*4 + 7*(12+k) est accessible pour tous k
De même : 15*3 + 7*(12+k) est accessible pour tous k
De même : 15*2 + 7*(12+k) est accessible pour tous k
De même : 15*1 + 7*(12+k) est accessible pour tous k
De même : 15*0 + 7*(12+k) est accessible pour tous k

Donc :
168 + 7*k = 15*0 + 7*(12 + k+12) est accessible pour tous k
169 + 7*k = 15*1 + 7*(12 + k+10) est accessible pour tous k
170 + 7*k = 15*2 + 7*(12 + k+8 ) est accessible pour tous k
171 + 7*k = 15*3 + 7*(12 + k+6 ) est accessible pour tous k
172 + 7*k = 15*4 + 7*(12 + k+4 ) est accessible pour tous k
173 + 7*k = 15*5 + 7*(12 + k+2 ) est accessible pour tous k
174 + 7*k = 15*6 + 7*(12 + k ) est accessible pour tous k

Donc :
167 est inaccessible
Tous nombres supérieurs ou égaux à 168 sont accessibles

Le nombre cherché est 167.

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Patrick

Bonjour,

Personne n'a dû lire avec attention ma réponse ... erronée :

pco a écrit:

7y+u = 15(7v+u) + 21b + 35c
y = 15v + 2u + 3b + 7c
et donc :
(1) : x = 15u + 7(15v + 3b + 7c)

On a en fait y = 15v + 2u + 3b + 5c
Et donc :
(1) : x = 15u + 7(15v + 3b + 5c)

Le reste suit : 15v + 3b + 5c ne peut prendre la valeur 7 mais peut prendre toute valeur à partir de 8.

On en déduit que x ne peut prendre la valeur 139 mais peut prendre toute valeur à partir de 140.

Le nombre cherché est donc 139 !

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Patrick