Determiner f

Bonjour,
f(2x) = f(x) cos(x)
f(x) = f(x/2) cos(x/2)

Pour x différent de kpi :
f(x)/sin(x) = f(x/2) cos(x/2) /(2 sin(x/2)cos(x/2) = (f(x/2)/sin(x/2)) /2
Et, évidemment :

Pour x différent de kpi :
f(x)/sin(x) = f(x/2^n)/(2^n sin(x/2^n)

Quand n tend vers +inf :
f(x/2^n) --> 1 (continuité de f et f(0)=1)
2^n sin(x/2^n) --> x

Donc :
Pour x différent de kpi :
f(x)/sin(x) = 1/x
f(x) = sin(x)/x
Comme f est continue, la prolongation en kpi est facile :

f(x) = sin(x)/x pour tout x différent de 0
f(0) = 1

On vérifie aisément que cette condition nécessaire est suffisante.

Belle équation !
--
Patrick

felicitation
mais il ya une infinitée de solutions
tu as ecris: f(x)/sin(x) = (f(x/2)/sin(x/2)) /2
on pose f(x)/sin(x)=h(x)=h(x/2)/2
==>f(x)/sin(x)=h(x)=a/x
==>f(x)=a sin(x)/x

Bonjour,

Non, il n'y a bien qu'une solution.
Il y a en effet dans l'énoncé la contrainte f(0)=1.

Donc f(x/2^n) tend bien vers 1 (f continue) et la constante multiplicative vaut bien 1.

--
Patrick

salut
ah oui f(0)=1
jai pas fait le raisonnement reciproque
lim f(x)=1(qd x tend vers 0)==>a=1
merci