TAF avec unicité

Soit f: IR ---> IR dérivable telle que qqs x<y de IR il existe c unique dans ]x,y[ vérifiant f(y)-f(x)=(y-x)f'(c).

Que dire de f?

je crois qu il existe seulement des conditions suffisantes mais pas necessaires.
et f''>0 ou f''<0 est une condition suffisante pour avoir cet unicité.
paceque : f(b)-f(a)/b-a represente la pente de la droite qui passe par X(x,f(x)) et Y(y,f(y)). donc si f est strictement convex (resp concave) il existe une tangeante unique parallele à cette droite.(facile à demontrer par TVI)

Bonjour abdebaki ;
Conclusion : f ou -f est strictement convexe

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour abdebaki ;
Conclusion : f ou -f est strictement convexe

Bonjour Abdelali, Bien vu
ce qui veut dire que f' strict. croissante
A+

DSl abdelali , avec une fausse manoeuvre ta solution a disparu. J'espère qu'elle est enregistrée dans ton PC pour que tu la recopies ici merci.

ça ne fait rien abdelbaki je vais essayer de la réecrire

je crois que tu veux dire f' strictement monotone sauf erreur bien entendu

j vx bien voir votre sollution mr Abdlali

l'idée de la preuve

Pour a£IR (arbitraire) posons g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) si x#a et g(a) = f'(a)
g est bien entendu continue sur IR et dérivable au moins sur IR - {a}

donc si on montre que g est injective elle serait strictement monotone
et quitte à changer f en -f qui vérifie les mêmes hypothèses que f on peut la supposer strictement croissante

d'où en particulier pour tout x>a , g(x)>g(a) et g'(x) >= 0 ce qui donne f'(x) > f'(a)

et comme a est arbitraire f' est strictement croissante

ce qui conduit à la conclusion : f' strictement monotone sauf erreur bien entendu

Bien vu mr
moi j ai commencé comm vs de demontrer qu on peut supposer que f est strctement croissante. donc f'(x)>0
supposons qu il existe deux reels p et q tel que f"(p)>0 et f"(q)<0

donc par le TVI il existe c€]p,q[ tel que f'(c)=0 ce qui é absurde.

donc f">0 pr tt x ou f"<0 pr tt x.