Système, unicité de la solution

Montrer que le système admet une unique solution
x= 1/4 sin(x+y)
y=1+2/3 arctan(x-y)

ça utilise le théorème de point fixe.voir le concours CCP 2009 maths 1.

j'y ai pensé aussi mais je stagne sur le choix de la norme pour trouver le k€ ]0,1[, (po de majoration cohérente -_-')

codex00 a écrit:

Montrer que le système admet une unique solution
x= 1/4 sin(x+y)
y=1+2/3 arctan(x-y)

BJR codex00 !!

Tu considères l’application de IRxIR à valeurs dans IRxIR suivante :
F : (x,y) ---------------> f(x,y)=((1/4)SIN(x+y) ;1+(2/3).ARCTAN(x-y))

Les Normes sur IRxIR sont toutes équivalentes ( puisque IRxIR est de dim finie )
Alors il suffit de trouver la bonne qui garantisse la k-Lipschitzianité ….
Pour tous (x,y) et (a,b) dans IRxIR , on a :
F(x,y)-F(a,b)={(1/4).{SIN(x+y)-SIN(a+b)} ;(2/3).(ARCTAN(x-y)-ARCTAN(a-b))}=(X ;Y)
On va utiliser le TAF pour continuer ……
X=(1/4).{(x-a)+(y-b)}.COS( ….)
Y=(2/3).{(x-a)-(y-b)}.{1/(1+(…)^2)}
Si tu prends la Norme suivante sur IRxIR : N(u,v)=|u|+|v|| ; alors il viendra :
N(F(x,y)-F(a,b)) <= {(1/4)+(2/3)}.N((x,y)-(a,b))
Enfin , tu prendras k=(1/4)+(2/3)=11/12 qui fait l’affaire ……

LHASSANE