c'est pour vous

bon jour a tous j'ai quelques exercices pour vous.je veux savoir vos avis sur le niveau de dificultés.et commençons
Exercice 1
soit a,b,c des nombres réels tels que a+b+c=0
1-prouver que (a+b)^3=a^3+b^3-3abc
2-prouver que (a+b)^4=a^4+b^4+2ab(2c²-ab)
3- deduire que (a^5+b^5+c^5)/5=(a^3+b^3+c^3)*(a^3+b^3+c^3)/6
Exercice 2
a et b sont deux nombres réels positifs non nuls
1-montrer que (a+1/a)(b+1/b)>= (ab+1)²/ab
2-reduire que (a+1/a)²+(b+1/b)² >=8
Exercice 3
a et b sont deux nombres réels
1-montrer que (a+b+c)²=<3(a²+b²+c²)
2-trouver le cas d'égalités (c'est à dire qui est la valeur de a et de b et de c quand (a+b+c)²=3(a²+b²+c²)
Exercice 4
calculer sin (pi/3 *7^n) n est un nombre de IN

salut
bon pour la premiere qusetion voila :
On sait que (a +b )^3 =a^3 +b^3 + 3ab^2 +3ba^2
donc il faut juste démontrer que 3ab^2 +3ba^3 = -3abc
3ab^2 +3ba^3 =3ab(a+b)
et puisque a+b+c =0
c'est a dire a+b =-c
3ab^2 +3ba^3 =3ab(a+b) =-3abc
a bientot

salut
bon et pour la 2 eme voila
(a +b)^4=(a+b)^2(a+b)^2
=(a^2+2ab+b^2)(a^2+b^2+2ab) =a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+b^2a^2+2ab^3+b^4
= 2ab(a^2+ab/2 +a^2+ 2ab +b^2 + ab/2 + b^2 )+a^4+b^4
= 2ab ( (a+b)^2 + ab + a^2 + b^2 )+a^4+b^4
= 2ab( (a+b)^2 +2ab -ab +a^2 +b2 )+a^4+b^4
=2ab( 2(a+b)^2 -ab)+a^4+b^4
et puisque a+b+c=0
c'est a dire a+b=-c
" " " :(a+b)^2=C^2
2ab( 2(a+b)^2 -ab)+a^4+b^4 =2ab(2c^2 -ab )+a^4+b^4
a bientot

SAlut Pour le 2eme
1)
(a+1/a)(b+1/b)>= (ab+1)²/ab
ab+a/b+b/a+1/ab>=(a²b²+2ab+1)/ab
ab+a/b+b/a+1/ab>=ab(ab+2)/ab + 1/ab
ab+a/b+b/a+1/ab>=ab + 1/ab + 2
a/b+b/a >= 2
a/b+b/a -2>=0
(V(a/b)-V(b/a))²>=0

2) on sait que a + 1/a>=2 et b+1/b >= 2
d'ou (a + 1/a)²+(b+1/b)²>=8

pour le 3eme exo :

(a+b+c)²=<3(a²+b²+c²)
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)<=3(a²+b²+c²)
2(a²+b²+c²)>=2(ab+bc+ca)

a²+b²>=2ab
b²+c²>=2bc
a²+c²>=2ca

la somme donne 2(a²+b²+c²)>=2(ab+bc+ca)

le cas c'est a=b=c=tout nombre réel

c simple je vois que vous avez répondu presque à tous les exos
bon je donne le solutions du dernier exo
sin (pi/3 *7^n) =sin(pi/3)=V3/2
je donne la solution complete....ou bien je vous laisse reflechir un peu?

Bravo a tous meryeem et samix et majdouline memes vous avez repondu a tous les questions et apartirs de votre raisonement je crois vous etes meilleurs.continuez et n'hésitez pas à demander les exercices je suis en services et vous aussi.
pour majdouline j'ai trouvé la meme reponse et avec deux méthodes 100% différent. on voici une:
7^n=2k+1(7 et impair donc 7^n et impair aussi) pour tous k de IN.
donc 7^n-1=2k
donc 7^n-1^n=2k *
et on sait que pour x et b et n de IN avec x>=n nous avons x-b divise x^n-b^n (parce que si x=b nous aurons x^n-b^n=0 donc b et le racine de polynome x^n-b^n donc x^n-b^n et disible par x-b)
si on met x=7 et b=1 donc 7^n-1^n et divisé par 7-1=6
c'est 7^n-1^n=6*m (m et un nombre de IN)
donc no3awid dans * et on trouve que 6m=2k
donc 3m=k donc k et divisé par 3
on conclut que 7^n=2k+1=6m+1
donc sin(pi/3 *7^n)=sin((pi/3)*(6m+1)
=sin((6m*pi+pi)/3)=sin(6m*pi/3+pi/3)
=sin(2m*pi+pi/3)=sin(pi/3)
( parce que m et de Z (parce qu'il appartient a IN))
donc sin (pi/3 *7^n)=sin(pi/3)=V3/2
et pour la deuxieme methode remarquez que
7^n=7*7^(n-1)=(2*3+1)*7^(n-1)=2*3*7^(n-1)+7^(n-1)
a vous de completer la deuxieme.

salam:

si on utilise les congruences modulo (6) c'est rapide

7 = 1 (mod 6) ====> 7^n = 1 (mod 6)

donc 7^n = 6k + 1

====> (pi/3)^n = (6k+1)pi/3 = pi/3 + 2kpi


====> CQFD.

ok Mr houssa mais je crois que la la plupart des etudiants du tronc commun ne savent pas ce que veut dire l'ecriture mod (modulo)
mais bon j'ai une autre solution
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sin(7^nxpi/3 )=sin[(7^n-1+1)pi/3]
alors sin(7^nxpi/3 )=sin ((7^n-1)pi/3 +pi/3))
on sait que 7^n-1=∑7^m m varie entre 0 et n-1
d'autre façon
7^n-1=(7-1)(7^(n-1)+7^(n-2)+............+7²+7^1+1)
alors 7^n-1=6(7^(n-1)+7^(n-2)+............+7²+7+1)
prenons (7^(n-1)+7^(n-2)+............+7²+7+1)=K (K de IN)
alors 7^n-1=6K
on a sin(7^nxpi/3 )=sin ((7^n-1)pi/3 + pi/3))
alors sin(7^nxpi/3 )=sin(6Kpi/3 +pi/3)
sin(7^nxpi/3 )=sin(2Kpi+pi/3)=sin(pi/3)=V3/2
-----------------------------------------------------
P.S=t'as dit abdellah qu'on a pas répondu à toutes les question? alors il ne reste qulques unes.... lesquelles?

[quote="majdouline"]ok Mr houssa mais je crois que la la plupart des etudiants du tronc commun ne savent pas ce que veut dire l'ecriture mod (modulo)
salut
j'aimerai bien savoir de quoi il s'agit ce (modulo)
merci d'avance

salam

avec plaisir seulement parfois je ne sais pas comment vous répondre

par exemple j'ai remarqué que vous parlez beaucoup de CAUCHY

est- ce au programme de seconde?

--------------------------------------------------

passons :

quand : a-b = multiple de n

on dit que : a est congru à b modulo n

on ecrit : a=b ( mod n)

exp : 32 = 2 (mod 5)
--------------------

propriétés :

si : a=b (mod n)

alors : a^p = b^p (mod n)

-------------------

si a=b mod( n) et a'=b' (mod n)

alors : a+a'=b+b' (mod n)

a.a' = b.b' (mod n)

et bien d'autres propriétés interessantes

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majdouline a écrit:

ok Mr houssa mais je crois que la la plupart des etudiants du tronc commun ne savent pas ce que veut dire l'ecriture mod (modulo)
mais bon j'ai une autre solution
------------------------------------------------------------------------
sin(7^nxpi/3 )=sin[(7^n-1+1)pi/3]
alors sin(7^nxpi/3 )=sin ((7^n-1)pi/3 +pi/3))
on sait que 7^n-1=(7-1)(7^(n-1)+7^(n-2)+............+7²+7^1+1)
alors 7^n-1=6(7^(n-1)+7^(n-2)+............+7²+7+1)
prenons (7^(n-1)+7^(n-2)+............+7²+7+1)=K (K de IN)
alors 7^n-1=6K
on a sin(7^nxpi/3 )=sin ((7^n-1)pi/3 + pi/3))
alors sin(7^nxpi/3 )=sin(6Kpi/3 +pi/3)
sin(7^nxpi/3 )=sin(2K+pi/3)=sin(pi/3)=V3/2
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P.S=t'as dit abdellah qu'on a pas répondu à toutes les question? alors il ne reste qulques unes.... lesquelles?

je suis désolé j'ai corrigé parce que je n'ai pas vu bien les réponses mille excuses s'il vous plait.

houssa a écrit:

salam

avec plaisir seulement parfois je ne sais pas comment vous répondre

par exemple j'ai remarqué que vous parlez beaucoup de CAUCHY

est- ce au programme de seconde?

--------------------------------------------------

passons :

quand : a-b = multiple de n

on dit que : a est congru à b modulo n

on ecrit : a=b ( mod n)


exp : 32 = 2 (mod 5)
--------------------

propriétés :

si : a=b (mod n)

alors : a^p = b^p (mod n)

-------------------

si a=b mod( n) et a'=b' (mod n)

alors : a+a'=b+b' (mod n)

a.a' = b.b' (mod n)

et bien d'autres propriétés interessantes

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salut
merci a vous c'est bien gentil mais je comprends pas ce que vous voulez dire pas " j'ai remarqué que vous parlez beaucoup de CAUCHY "
merci et a bientot

houssa a écrit:

salam

avec plaisir seulement parfois je ne sais pas comment vous répondre

par exemple j'ai remarqué que vous parlez beaucoup de CAUCHY

est- ce au programme de seconde?



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Non , Cauchy entre au Programme de La Premiere ( L'annee qui suit La seconde ) .. Mais Les Membres du forum le connaissent car comme vous le savez , c est un outil Indispensable Pour Resoudre Tant de problemes aux Olympiades , et meme qui ne le connait pas avec son nom , il est censee de connaitre au Moins de quoi s'agit-il

d'apres cet exo g l'idée d'un autre exo
calculer cos(m^n*pi/4) m un nombre impair de Z et n de IN