Quatrieme degré

a,b,c>0 , abc=1 prouvez :

x=a/b ,y= b/c ,z=c/a
l'inégalité devient
sum( (2a-b)^2/((a^2+b^2-ab)) >= 3

par cauchy ,LHS >= ( 2sum(a^2)-sum(ab))^2/( sum( a^2(a^2+b^2-ab))=A
il suffit de MQ : A >=3 (pas triviale) , j'ai une preuve mais elle est laide je vé laposter Après

neutrino rak ghi dfch.

posons: a=x/y b=y/z c=z/x

alors l'inégalité deviendra:

ce qui implique ce qui est vraie en utilisant l'inégalité du réordonement.

avec la (pq) j arr ici:
<==>0=<2q²+p²+6-2p-3q-2pq [je sais po si c juste ou nn].

neutrino a écrit:

x=a/b ,y= b/c ,z=c/a
l'inégalité devient
sum( (2a-b)^2/((a^2+b^2-ab)) >= 3

par cauchy ,LHS >= ( 2sum(a^2)-sum(ab))^2/( sum( a^2(a^2+b^2-ab))=A
il suffit de MQ : A >=3 (pas triviale) , j'ai une preuve mais elle est laide je vé laposter Après

Je continue :
la dernière équivaut à :
S=6 sum ( (ac)^2 )-sum( a^3b) -4sum ( b^3a) -2abc(a+b+c) + sum (a^4)>=0

mais : (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)*4*S = (a^3+b^3+c^3+12abc+ 2( ab^2+a^2c+c^2b)-7(a^2b+c^2a+b^2c ) )^2 + 3( a^3+b^3+c^3+ac^2+a^2b+b^2c-4(a^2c+b^2a+c^2b)+6abc)^2 ( sauf erreur)

P.S : ila kont kanedfech , aumoins kanedfech mn rassi

woow tres belle identité , tres jolie
merci pr la preuve , je presentrai aprés ma preuve au probleme

voila comme commencé par beautifil mind on doit montrer que :





par cauchy shwartz :



l inegalité qui reste à montrer equivaut :





Done !

2ème preuve:
elle équivaut à:
(a-1)²(b-1)²(c-1)² + a* ( sqrt(b)-sqrt(c))² *(a ( sqrt(b)+sqrt(c))²-3) + (sqrt(a)-1)²/a² *(2a²-2a^(3/2) +2sqrt(a) +1 )>=0 avec a=max(a,b,c) >=1
P.S : pour etre plus claire a *( sqrt(b)+sqrt(c))² >= 4a*sqrt(bc) = 4sqrt(a) >3