Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12]

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Alors, comment c'était ?

Débutant Nombre de messages : 3 Age : 29 Date d'inscription : 24/02/2012

voila le test j'attens vos reponses
https://i.servimg.com/u/f42/17/32/56/26/image_12.jpg
Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Image_12

Merci Sami (Somat) pour avoir posté le test, et Bienvenue dans le forum Wink

, voici mes réponses pour problème 1 et 4:

Solution au problème 1:
Si on pose a=xz et b=yz et c=3z, l'inégalité à démontrer devient:
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$
Pour que P(a) soit positive il suffit que delta soit négative, i.e:
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$ .
Ce qui est clairement vrai !
(J'ai souffert avant trouver l'identité remarquable, mais bon ... Smile

)

Solution au problème 2:
Problème 4 ici: https://mathsmaroc.jeun.fr/t17823-cinquieme-olympiade-de-premiere-22-avril-2011

Solution au problème 4:
Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Olymp410

Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Olymp410

Soit: $Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$ , Par une chasse d'angles facile, on obtient:
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$ .
Donc: $Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$ .

Débutant Nombre de messages : 3 Age : 29 Date d'inscription : 24/02/2012

joli

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Personne n'a fait le 3 ?

Dernière édition par boubou math le Ven 02 Mar 2012, 21:10, édité 5 fois

Débutant Nombre de messages : 3 Age : 28 Date d'inscription : 24/02/2012

svp reponse du 2

boubou math a écrit:

Siba a écrit:: Personne n'a fait le 3 ?

J'ai fais le 3 , voici ma solution
La fonction f(x)=1/x est concave
ainsi
avec Jensen
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] 3(\sum&space;\frac{1}{a^2-4a+9})\leq&space;\frac{1}{\frac{1}{3}(\sum&space;a^2-4a+9)}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2-4(a+b+c)+27}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2+24}\Rightarrow&space;\sum&space;\frac{1}{a^2-4a+9}\leq&space;\frac{9}{a^2+b^2+c^2+24}$
mais on a avec C.S
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] 3$
On combinant avec la premiere inégo il nous viens
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$
avec Egalité si a=b=c=1/3.

1/x n'est pas concave !!

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

ali-mes a écrit:

boubou math a écrit:

Siba a écrit:: Personne n'a fait le 3 ?

J'ai fais le 3 , voici ma solution
La fonction f(x)=1/x est concave
ainsi
avec Jensen
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] 3(\sum&space;\frac{1}{a^2-4a+9})\leq&space;\frac{1}{\frac{1}{3}(\sum&space;a^2-4a+9)}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2-4(a+b+c)+27}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2+24}\Rightarrow&space;\sum&space;\frac{1}{a^2-4a+9}\leq&space;\frac{9}{a^2+b^2+c^2+24}$
mais on a avec C.S
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] 3$
On combinant avec la premiere inégo il nous viens
$Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12] Gif$
avec Egalité si a=b=c=1/3.

1/x n'est pas concave !!

EDITE ><

Maître Nombre de messages : 143 Age : 29 Date d'inscription : 25/01/2011

salut tt le monde
je vais proposer mes solutions et mes methodes et je vous demande que vous voyez si c'est juste

merci d'avance

Maître Nombre de messages : 143 Age : 29 Date d'inscription : 25/01/2011

pour le 1er exo :
em mettant B=3Z² +3XZ²+X²Z² + 3YZ² + XYZ² +Y²Z²+3 -6Z -3XZ -3YZ
APRES la factorisation
B=3Z(Z-1)(X+Y)+3(Z-1)² X²Z²+ XYZ²
EN CAS DE Z>1
ON AURA B>0
ET SI Z<1

APRES UNE AUTRE FACTORISATION
(X+Y)(Z²(Z+X)-3) +3(Z-1)²
DONC B>0
ALORS DANS TS LES CAS PN AURA b>0

DONC L'inegalité est juste

Maître Nombre de messages : 143 Age : 29 Date d'inscription : 25/01/2011

pour le 3éme exo :

en considerant que cd est la grande base on aura : pa<pc et pb<pd donc pb-pd<0

pc>pa => pc (pb-pd ) <pa ( pb-pd) => (pc*pb)/2 -(pc*pd)/2 < (pa*pb)/2 -(pa*pd)/2

Spbc -Spdc < Spab -Spda

Spab +Spcd > S pbc +Spad

j'espere que ça sera juste

Débutant Nombre de messages : 5 Age : 28 Date d'inscription : 23/02/2011

exo 2:
c est le sel exo dont je suis un peu sur

ON A
S(ABCD)=S(PAD)+S(PAB)+S(PBC)+S(PCD)
DONC
S(PAB)+S(PCD)>S(PAD)+S(PCB)
<=>S(PAB)+S(PCD)> S(ABCD)-S(PAB)-S(PCD)
<=>2(S(PAB)+S'PCD))>S(ABCD)
on pose a=AB ET b=CD ET c=PN 5LA HAUTEUR DU TRIANGLE PAB) et d=PH (la hauteur du triangle PCD)
<=>2*((a*c)/2+(b*d)/2))>((a+b)*(c+d))/2
<=>2*ac+2*db>ac+ad+cd+bd
<=>ac+bd> ad+cb
<=>a(c-d)>b(c-d)
ona (AB)//(cd)
on va demontrer que a/b=c/d
donc si on prend a>b on aura c>d
donc c-d>0
donc a(c-d)>b(c-d)
avec equivalences successives on a demontrer ce qu'il faut

Débutant Nombre de messages : 5 Age : 28 Date d'inscription : 23/02/2011

slt toit le monde je sais que ce sera che veux sur mais c est quoi l inegalite de jensen et cs

Maître Nombre de messages : 143 Age : 29 Date d'inscription : 25/01/2011

pour le 3eme exo: Very Happy

jé fé que pour avoir la valeur maximale
on doit faire que :
a²-4a+9=b²-4b+9=c²-4c+9

apres des petits calculs on aura a=b=c
et puisque a+b+c=1
donc a=b=c=1/3

en remplaçant on aura que la valeur egale 27/70

merci d'avance Very Happy

Débutant Nombre de messages : 6 Age : 28 Date d'inscription : 23/02/2012

hind nassri a écrit:: pour le 3eme exo:
jé fé que pour avoir la valeur maximale
on doit faire que :
a²-4a+9=b²-4b+9=c²-4c+9

apres des petits calculs on aura a=b=c
et puisque a+b+c=1
donc a=b=c=1/3

en remplaçant on aura que la valeur egale 27/70

merci d'avance

tu t'es basée sur koi pour dire qu'on doit faire que :
a²-4a+9=b²-4b+9=c²-4c+9
et mrc

Maître Nombre de messages : 143 Age : 29 Date d'inscription : 25/01/2011

parce que si on veut la valeur maximale et on a a²-4a+9=b²-4b+9=c²-4c+9

qui sont ecrites sous la meme forme de x²-4x+9
ET CE SONT DES NOMBRES positives et a+b+c=1
donc on doit avoir qUE 1/(a²-4a+9)=1/(b²-4b+9)=1/(c²-4c+9)
DONC

a²-4a+9=b²-4b+9=c²-4c+9
c'est un peu logique .
et que dites vous des autres ,? Very Happy