Quatrième Olympiades Première Maths [Vendredi: 02/03/12]

Bonsoir tout le monde

je vous présente ma solution pour l'exercice 3

(a²-4a+9)=(a-2)²+5
on a a+b+c=1 donc a<=1 puisque b et c sont positifs
donc a-2<=-1 alors( a-2)²>=1
ce qui nous donne que (a-2)²+5>=6
donc 1/a²-4a+9<=1/6
de la méme maniére on prouve que
1/c²-4c+9<=1/6
1/b²-4b+9<=1/6
la valeur maximale est 3/6=1/2
c'est tout a fait logique

je vous présente ma solution pour l'exercice 3

(a²-4a+9)=(a-2)²+5
on a a+b+c=1 donc a<=1 puisque b et c sont positifs
donc a-2<=-1 alors( a-2)²>=1
ce qui nous donne que (a-2)²+5>=6
donc 1/a²-4a+9<=1/6
de la méme maniére on prouve que
1/c²-4c+9<=1/6
1/b²-4b+9<=1/6
la valeur maximale est 3/6=1/2
c'est tout a fait logique

Bonjour , @Akliilias , il faut trouvé un triplet pour le quelle la somme atteint cette valeur ....

.

Bonjour,

Pour le 3:

Quand tu dis que a < 1, ca ne veut rien dire !
Ainsi, d'apres toi: a + b + c < 3...
Or: a + b + c = 1.
Donc, il faut plutot prendre a = b = c = 1/3 pour trouver la valeur maximum = 27/70.

Pour le 2:

On utilise la formule de la surface d'un triangle: S = ab.sin[C]/2, et on trouve le résultat facilement.

Pour le 1:

On remarque la premiè IR: 3(z-1)^2 , puis on factorize par 3z les termes avec 3, et on remarque le début d'une IR, et après le calcul on trouve un résultat positif.

Pour le 4:

Il faut travailler avec les angles..(moi j'ai eu une exception j'ai eu un triangle isocèle et rectangle et j'ai travaillé avec l'angle 45, qui est juste un cas particulier).

Bref, c'était moyen comme olympiade

Siba a écrit:

Bonjour,

Pour le 3:

Quand tu dis que a < 1, ca ne veut rien dire !
Ainsi, d'apres toi: a + b + c < 3...
Or: a + b + c = 1.
Donc, il faut plutot prendre a = b = c = 1/3 pour trouver la valeur maximum = 27/70.

Pour le 2:

On utilise la formule de la surface d'un triangle: S = ab[C]/2, et on trouve le résultat facilement.

Pour le 1:

On remarque la premiè IR: 3(z-1)^2 , puis on factorize par 3z les termes avec 3, et on remarque le début d'une IR, et après le calcul on trouve un résultat positif.

Pour le 4:

Il faut travailler avec les angles..(moi j'ai eu une exception j'ai eu un triangle isocèle et rectangle et j'ai travaillé avec l'angle 45, qui est juste un cas particulier).

Bref, c'était moyen comme olympiade

bjr siba
est ce que tu es sure de tes methodes a propos de l'exo (1;2;3) ?,
car jé fé aussi comme tes methodes

*youness* a écrit:

a=1 et b=0 et c=0 a+b+c=1 et la valeur= 21/54 > 27/70 !!!

c'est tres proche 27/70 =0,385
et 21/54= 0,388
les deux egalent 0,38
LOL

Hhhhh

y a-t-il une méthode logique ???

Pour l'exercice 3) la valeur max est : 7\18 .

alidos,donne moi le cas ou cette valeur atteint 3/5 ce qui manque dans ma solution c'est de trouver un triplet égale à 1/2

ali-mes a écrit:

boubou math a écrit:

Siba a écrit:

Personne n'a fait le 3 ?

J'ai fais le 3 , voici ma solution
La fonction f(x)=1/x est concave
ainsi
avec Jensen

mais on a avec C.S

On combinant avec la premiere inégo il nous viens

avec Egalité si a=b=c=1/3.

1/x n'est pas concave !!

tu es trés intelligent prend a=0.9 b=0.05 c=0.05

slt boulal on a

a+b+c=1

Bonjour Tout le monde !
Hind : 0.9+0.05+0.05 est qd méme égale à 1 ...
Bon je pense que l'exercice 3 n'était pas facile . mais il faut remarque que :

car
la valeur max est donc 7/18 . qd a=b=0 et c=1 où toute autre permutation cyclique.

Sporovitch a écrit:

Bonjour Tout le monde !
Hind : 0.9+0.05+0.05 est qd méme égale à 1 ...
Bon je pense que l'exercice 3 n'était pas facile . mais il faut remarque que :

car
la valeur max est donc 7/18 . qd a=b=0 et c=1 où toute autre permutation cyclique.

Oué c'est ce que Oty a fait

D'accor je pensais que yavé pas de solutions psk j''en ai vu aucune .

j'avais posté ma démonstration , mais en dirait que personne ne s'en ait aperçu c'est pour cela que j'ai effacé , en faite c'est pas obligé de remarquer que : 1\(x²-4x+9) =< 1\18 x + 1\9 , on peut nous même trouver cette relation comme je l'avais montrer ....

Oty si tu peux poster bien au clair ta réponse ainsi que citer comment tu as pu trouver la remarque 1/(x²-4x+9)=< 1/18 x +1/9 ?

Bonsoir , c'est un peu long donc je récris juste la démarche a suivre , bon on chercher une relation de type : 1\(x²-4x+9) >= ax+b , pour x entre 0 et 1 , cette dernière est équivalente a (x²-4x+9)(ax+b)-1 >=0 quelque soit x entre 0 et 1 , on pose : f(x)=(x²-4x+9)(ax+b)-1 . pour que cette inégalité soit vérifier il faut que f(0) >=0 qui nous donne b>=1\9 , d'ou il faut prendre b=1\9 (pour avoir le cas d'égalité) et chercher le ''a'' qui convient , pour trouver le ''a'' il faut que f'(x) >=0 ou encore f ' (0) >= 0 et f '' (x) >=0 (pour facilité les calcules ) cette dernier nous montre que : a=<1\18 , donc il suffit de prendre a=1\18 (pour avoir le cas d'égalité) , puis on trouve S =< 1\18 (a+b+c)+ 3\9= 7\18 ( remarque si on prend des valeurs diff de 1\18 et 1\9 on aura une valeur max qui n'est pas atteinte ...) . Notons que ''a'' et b doivent être strictement positif ......

slt tt le monde
je veux savoir quand on va passer le prochain olympiade ??

Le 27 Avril et le 4 Mai .

Merci .