Four numbers game...

Let f : IN^4->IN^4 be the map defined by f(a,b,c,d)=(|b-a|,|c-b|,|d-c|,|a-d|)
Show that for any (a,b,c,d) £ IN^4, there exists a positive integer n such that f^n(a,b,c,d)=(0,0,0,0).

Hi Everybody !!
Hi callo !!

Deeply sorry to say it , but this exercice has been posted a few days ago by our Admin A.ATTIOUI and here's the link to :

https://mathsmaroc.jeun.fr/algebre-f7/jeu-des-4-entiers-t12338.htm#106598

This exercice is both quite nice and smart but complicated too!!
At this time , I've no idea how to solve it !!

See You and Take Care !!

Bonsoir Mr Lhassan ,
Dsl , je ne l'ai pas vu dans le fofo , c pour ça que je l'ai posté.
C'est tiré de la feuille d'exos de la MPSI 1 (moi étant en 2)
il est vrai que c'est dûr ,cet exercice est signalé par deux étoiles .( le maximum étant 3 et le minimum étant 0)
Je demanderai des indications ,
Bonne soirée à vous !

je ne suis pas sur , mais j'ai plutot envie de prendre une matrice , et de montrer qu'elle est nilpotente !!

Salut,
je crois que les matrices fonctionnent souvent avec les applications linéaires (d'espace vectoriel) , les faire intervenir ici compliquera la tâche à mon avis.
Si tu peux , demande à ton tour une indication de la part de Mr Roger Mansuy...
A++

BSR à Toutes et Tous !!
BSR callo !!

Alors que j'étais entr'ain de chercher l'exo ..... je suis tombé au cours de mes pérégrinations sur le Web sur une Grosse Pépite !!
Devines quoi donc ?? " The Four Numbers Game " itself ....

Voici le Lien :

http://www.math.ohio-state.edu/~shapiro/4NumbersGame.pdf

Du coup , c'est génial avec le charme en moins MAIS
l'article soumet quelques problèmes ouverts relatifs à ce Jeu !!
C'eût été un Bon Exo d'Olympiades !!

Allé Bonne Soirée à Vous Tous !!!

d'aprés mon prof , il suffit de montrer que l'application qui associe la somme , je veux dire Ia-bI+Ib-cI+Ic-dI+Id-aI est contractante (liptchizienne a coefficient trés petit devant 1)

bon pour finir en beauté vers les vacances
il suffit de voir que le le (max Ia_i-a_jI) est décroissant et puoisqu'on est en N* il vaudra surement 0 (P.S : que ce soit 4 ou n variables)

il suffit de montrer que les suites définies par a_(n+1)=lb_n-a_nl et b(n+1)=lc_n-b_nl et c_(n+1)=ld_n-c_nl et d_(n+1)=la_n-d_nl
et (a_0,b_0,c_0,d_0)=(a,b,c,d) convergent et puisque les suites qui convergent dans N sont stationaire a partire d'un certain rang donc la suite (a_n,b_n,c_n,d_n) est stationaire a partite du plus grand des rangs des 4 suites et dans ce cas (a_n,b_n,c_n,d_n)=(A,B,C,D) donc A=lB-Al et B=lC-Bl etC=lD-Bl et D=lA-Dl => (A,B,C,D)=(0,0,0,0)
d'ou le n tel que f^n(a,b,c,d)=(0,0,0,0) est le rang pour le quel (a_n,b_n,c_n,d_n) soit stationaire