espace victoriellllllll

i need yr help svp f l exo n 58..........................

salut spriderman2 !!!

soit E un espace vectoriel et f:E--->E une endomorphisme (application lineaire de E dans E).

1) Montrons que (Im(f);+;.) est un espace vectoriel (Im(f)=f(E)).
c'est facile a demontrer!!
2) de même pour (ker(f);+;.).!!

3) (===>)

supposons que f est injective donc pr tt x;y£Kerf on a:

f(x+y)=f(x) + f(y) ===> f(x-y) = f(x) - f(y)

f injective ==> (f(x)=f(y) ==> x=y) ===> (f(x-y)=0 ===> x=y) ===>(f(x-y)=0 ==> (x-y)=0) ===> (f(z)=0 ==> z=0)

===> (z £ Ker(f) ==> z=0) ====> Kerf(f)={0_E}

(<===)

supposons que ker(f)={0_E}:

x;y£ Kerf ===> x-y £ Kerf ===> f(x-y)=0===> f(x)=f(y) ===> x=y car kerf={0_E} (c a d x-y=0) donc f injective

4) soit f app. injective et {x1;....xn} systeme libre donc:

x=(x1;....;xn) £ E ===> il existe (ai)£ IR tq x= som{k=1-->n)(ak xk)donc:

f(x) = som(k=1-->n){ ak f(xk)} (*)
alors puisque f injective alrs f(x)= 0 ===> x=0 ===> ak=0 (car {x1;...;xn} systeme libre ==d'aprés (*)==> {f(x1);....;f(xn)} systeme libre.

à suivre ....
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lahoucine

merci bccccccp mathema pr votre aide precieu...
et j aime b1 avoir la reponse des questions resté si cela est possible....
thnxx

salut !!

4)
soit E l'espace engendré par le systeme {x_1;....;x_n} alors pr tt x£E il existe (a_k)_k£{1;...;n}

puisque f injective.

donc {f(x_x)}_k k={1;...;n} est libre

5).
je pose et je constate que B={e_1,e_2,....,e_n}={e_k}_k .

Montrons d'abord que (a) <==>(b) <==>(c)

*) (a)==>(b)
soit f injective alors d'aprés la question 4) pr tt B base de E , B'={f(e_1),....,f(e_n)} est une base dans f(E) alors:

donc puisque B est une base de E alors:


d'où on conclure que: d'où la surjectivité de f.

en plus:.

donc f injective <==> f surjecrtive <==> f bijective.

*) (b)===> (c)
f surjective ===> f injective (d'aprés ce qui precede) donc pour tt base B de E , il sera existe une base B' de f(E)(d'aprés la question 4) ) alors f transforme tt base de E àune base dans f(E) et puisque f surjective donc f(E)=E.
alors f transforme tt base de E à une base dans E.

*) (c)===>(a)
facile depuis ce qui precede (Q4).

à suivre pour la question 6)
!!
PS: pas de quoi spidermann2 et merci à toi egalament!!!
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lahoucine

salut spiderman 2 !!!

Re pour completer l'exo !!

soit B={e_1;e_2;....;e_p;....;e_n} une base de E .
alors:


et puisque est une base de l'ensemble Ker(f)

alors .

donc:



donc est une base de f(E).

b)

on a et

donc (car )

PS: s'il y'a qlq choses pas compris je suis ici
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lahoucine