Arithmetique ( HARD)

Je bloque sur cet exercice, traduit par mes soins . J espère que vous pourrez m aider. Merci d avance.



Ex 114 p 155:

Trouvez n appartenant a Z Tel que :

- n ait 10 diviseurs ( قواسم ) dans Z
- Il existe p et q premiers tel que : n = 16+ p.q


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salam

peux tu préciser 10 diviseurs positifs ou les deux??

ou bien tu veux dire IN au lieu de Z ??

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c est ecrit : n ya9bal 10 9awassime fi Z
(n appartient a Z )

salam

je prends un exemple pour être clair

les diviseurs de 6 : -1 , 1, -2 , 2 , -3 , 3 , -6 , 6 . si c'est cela alors :

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nadmet 10 diviseurs ====> 5 diviseurs positifs

un théorème d'arithm. :

si N =(p^a).(q^b)....... ( décomposition en facteurs premiers)

alors le nombre de ses diviseurs positifs est : (a+1)(b+1)(..........)

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donc : 5 = (0+1)(4+1)

n = k^4 avec k premier

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n= 16 + pq ====> pq = k^4 - 2^4 =( k²-4)(k²+4)=(k-2)((k+2)(k²+4)

donc : k-2 = 1 ou k+2=1 ou k²+4=1 (impossible)

car p , q sont premiers

===> k=3 ou k=-1 qui n'est pas premier

=====> pq = 5.13

===> n = 16 +pq = 81

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