petite equation de ma creation !

slt je vous propose cet enoncé :

[EDIT]: regarder si dessous !

Bonjour memath

comme je suis un passant (car cest 3h00) j'aimerai ecrire qlq choses pour l'inequation fonctionnelle 1):
on a: f(x)=0 pr tt x est une solution evidente.
on suppose qu'il existe a£IR tq f(a)=0 alors on aura:
2f'²(a)=<0 ce qui est absurde!!! donc il n'existe pas un tel a£IR tq f(a)=0.

donc 2f'(x) =< -f"(x)f(x) <==> 2f'(x) + f"(x)f(x) =< 0

<===> (f²(x)f'(x))'/f(x) =<0

<===> (f²(x)f'(x))' =<0 (car evidement f>=0)

alors la fonction g(x)=f²(x)f'(x) est decroissante sur IR et l'equation g(x)=0 possede une seule solution h (car f est concave) avec f(h)=A = max{f(x) pr tt x£IR}.

donc le reste est simple sachant que:

-> g(x)={(f^3(x))/3}'
->g est decroissante sur IR.
->g s'annule une seule fois et g(c)=0 <==> c£{x£IR / f'(x)=0}.
alors l'integrale faire le travail avec un peu de precision...
à suivre....
-------------------------------------
<------>

memath a écrit:

slt je vous propose cet enoncé :

trouver tte les fonctions f:R-->R+ derivables et concaves et pr tt reels x et y on a les propriété suivantes :

1)

2)

have fun

Bonjour memath.

A mon avis, la propriété 1) suffit à dire que la seule solution est f(x)=c :

f" <=0 implique f' décroissante.
Si f' tend vers -inf quand x tend vers +oo, alors f ne peut être positive quand x tend vers +oo. Donc f' a une limite L1 quand x tend vers +oo, et cette limite est nécessairement >=0 sinon, f deviendrait négatve quand x tend vers +oo).

Exactement de la même façon, on montre que f' a une limite L2 <=0 quand x tend vers -oo.

Comme f' est décroissante, on a donc 0>= L2 >= L1 >= 0 et donc L1 = L2 = 0 et f'=0

Donc f(x)=c > 0
et on vérifie bien que cette fonction vérifie les deux propriétés.

Patrick

slt !
vraiment desolé , j ai pa remarqué que la premiere condition suffit , l equation que j ai imaginé c est la condition 2 , j ai rajouté la 1 comme racourci c tt , bon regardez si dessous le nouveau enoncé du probleme , esperons qu il ne soit pas trivial lui aussi

trouver toute les fonction f:R-->R+ verifiant la propriété suivante :

memath a écrit:

trouver toute les fonction f:R-->R+ verifiant la propriété suivante :

Pour l'instant, je sèche. J'ai une quasi solution, mais pas terminée :

Je préfère travailler sur g=f^2 qui vérifie l'équation :
P(x,y) : 2g^3((x+y)/2)=g(x)g(y)(g(x)+g(y)).

On voit que si g(x) solution, k*g(x) l'est aussi. Je fixe donc g(0)=1/2.
On voit facilement que si g(x) et g(x+y) sont différents, alors la suite g(x+ny) est strictement monotone et donc que si IM(g) n'est pas réduit à un seul élément, son cardinal est infini.

Soit a réel non nul. Je pose alors :
u=g(a)
v=g(2a)
w=g(-a)
t=g(-2a)

P(2a,0) donne 8u^3 = v(2v+1)
P(-2a,0) donne 8w^3 = t(2t+1)
P(-a,a) donne 1 = 4uw(u+w)
P(-2a,2a) donne 1 = 4vt(v+t)

Soit un système de quatre équations à quatre inconnues. Le système n'est pas lié (on n'a pas une équation qui est vraie systématiquement si les trois autres sont vraies) << démo faisable par calcul de une ou deux combinaisons >>. Et donc le système a un nombre fini de solutions <<< cela est sûrement vrai mais je n'ai pas de démo simple pour cela >>>.

Donc IM(g) est de cardinal fini, donc réduit à un seul élément. Donc g(x)=c et donc f(x)=cste.

En fait, ce que je tente de faire par ce procédé est de dire que l'on peut calculer g(-2x) de deux façons à partir de g(x) :
1) g(x) donne g(2x) (en résolvant P(0,2x) puis g(2x) donne g(-2x) (en résolvant P(-2x,2x)
2) g(x) donne g(-x) (en résolvant P(-x,x) puis g(-x) donne g(-2x) (en résolvant P(-2x,0))
et ces deux calculs ne donnent le même résultat que pour un nombre fini de valeurs de g(x)

Voilà où j'en suis pour l'instant. Il y a probablement plus simple.

slt , d'abord merci beaucoup pour votre interet , et ca me fait enormement plaisir que vous sechez sur mon probleme car d'une part ca montre que vous etes interessé et d autre part je me sens soulagé car elle parait pas trivial.
pour votre methode on cesse pas d'apprendre de ce que vous faites donc continuez , et mettez dans votre tete que une sollution tréés simple existe
mais je vous encourage de continuer votre methode !

en sachant mon niveau;
j'ai trouvé juska maintnant seulemenet que toutes les fonctions constantes sont des solutions

qui s'écrivent b1 sûr sous la forme

f(x) = a tel que a >= 0

ok maintenant essai de montrer que toute les solutions sont des fonctions constantes

alors ,, ?
j'aimerai bien voir vos avancement.

ps: j'ai posté cette equation ailleurs , mais personne n'a repondu y a 4 jours , peut etre qu'elle n'est pas si attirante !