Somme directe et orthogonalité

Soit u un endomorphisme d'un espace vectorie ruclidien E telle que :

Pour tout x de E : ||u(x)||<=||x||

Montrer que E=Ker(Id-u)+Im(Id-u) (somme directe)

et que ces deux sev sont orthogonales.

Une idée

on prend x£Ker(I-u) , y£E et a£IR

alors d'une part le réel : < ax+y - u(ax+y) , ax+y + u(ax+y) > = ||ax+y||² - ||u(ax+y)||² est positif ou nul

et d'autre part (en développant) on a le monôme (en a) : 2a.< x , y - u(y) > + ||y||² - ||u(y)||² positif ou nul

et comme un monôme n'est de signe constant que si son coefficient directeur est nul on a : < x , y - u(y) > = 0

et finalement le théorème du rang permet de conclure sauf erreur bien entendu