arithemetique !!

salut



merci d avance
a+
verginia

1) a^(mq+r) -1 = a^(mq).a^r -1 = (a^(mq) -1).a^r +(a^r -1)

2)D'apres (1) et x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1) + ..... + 1) --> tu obtient :

a^(mq+r) - 1=(a^m - 1)(a^(m-1)+..............+1).2^r + (a^r-1)

Une combinaison Lineaire d|(a^m - 1) (1), et d|(a^(mq+r) - 1) (2)

(2) - (1) = Tu obtient cqfd .

3)L'application De Gauche a Droite : conclusion de la question 2 , si a^m-1 | a^n-1 , le reste a^r-1=0 --> a^r=1 --> r=0 --> m=nq --> m|n
L'application de droite a Gauche est simple aussi : m|q --> m=qn ... a^m-1=a^qn-1=(a^n-1)(a^(n-1)+......+1) --> a^m-1|a^n-1

4) a) Je sais pas , peut eter c de votre Cours ( je suis eleve de Premiere ) !
b) Le reste de la division euclidienne de a^m-1 sur a^n-1 est a^r-1 ( Ou r est le reste de la division de m sur n ) , puis tu procede par le Logarithme d'Euclide , tu trouve le resultat .
c) c =1

Sauf erreur

MouaDoS a écrit:

1) a^(mq+r) -1 = a^(mq).a^r -1 = (a^(mq) -1).a^r +(a^r -1)

2)D'apres (1) et x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1) + ..... + 1) --> tu obtient :

a^(mq+r) - 1=(a^m - 1)(a^(m-1)+..............+1).2^r + (a^r-1)

Une combinaison Lineaire d|(a^m - 1) (1), et d|(a^(mq+r) - 1) (2)

(2) - (1) = Tu obtient cqfd .

3)L'application De Gauche a Droite : conclusion de la question 2 , si a^m-1 | a^n-1 , le reste a^r-1=0 --> a^r=1 --> r=0 --> m=nq --> m|n
L'application de droite a Gauche est simple aussi : m|q --> m=qn ... a^m-1=a^qn-1=(a^n-1)(a^(n-1)+......+1) --> a^m-1|a^n-1

4) a) Je sais pas , peut eter c de votre Cours ( je suis eleve de Premiere ) !
b) Le reste de la division euclidienne de a^m-1 sur a^n-1 est a^r-1 ( Ou r est le reste de la division de m sur n ) , puis tu procede par le Logarithme d'Euclide , tu trouve le resultat .
c) c =1

Sauf erreur

BJR à Toutes et Tous !!!
BJR MouaDoS !!

Un parcours sans faute ! Bravo !!
En effet , c'est une adaptation particulière de l' Algorithme d'EUCLIDE à une famille particulière d'entiers ......
Pour la 4/ a) c'est l'Identité de BEZOUT appliquée aux deux entiers PREMIERS ENTRE EUX a={n/d} et b={m/d} et que connaissent bien les BACSM !!!

a++ LHASSANE


PS : Pour verginia , on peut aussi démontrer que :
{a^n -1} v {a^m -1} = a^(nvm) -1
ou l'opération " v " symbolise le PPCM de deux entiers .

j'ai fais cet exo juste avant hier, pour
c =2^3 -1=7 non???

Yes Naoufal , t'a raison ... puisque : 63=1*60+3 et 60=3*20 --> c 2^3-1=7

MouaDoS a écrit:

Yes Naoufal , t'a raison ... puisque : 63=1*60+3 et 60=3*20 --> c 2^3-1=7

BSR à Vous !!

Pensez-Vous que 7 divise aussi 60 ???!!!
Non !!! 60^63 est bien 3 !!!!

Selon l'Algorithme d'Euclide : le PGCD c'est l'avant dernier reste non nul .... dans les divisions sucessives ....

LHASSANE

7 ne divise pas 60 mais divise 2^60-1.....

L a écrit:

7 ne divise pas 60 mais divise 2^60-1.....

Excusez-moi !!
Je pensais que vous parliez de 60^63 !!
D'accord {2^60 - 1}^{2^63 -1}=2^3 -1=7
C'étais là la confusion ....

A++ LHASSANE

s il vs plai plu d explication pour 4/b)...

rixa a écrit:

s il vs plai plu d explication pour 4/b)...

On a deja demontree que a^r-1 est le reste de la division de a^n-1 sur a^m-1

--> PGCD(a^n-1,a^m-1) = PGCD(a^m-1,a^r-1)

On refait le meme raisonnement en remplaçant a par b et b par r pour reduire encore le PGCD ... On retrouve ainsi successivement les différents restes apparaissant dans l'algorithme d'Euclide , de sorte qu'on finit par tomber sur le couple (m^n;0), où m^n est le PGCD de m et n.
--->

PGCD(a^m-1 , a^n-1)
=PGCD(a^(pgcd(m,n))-1 , a^0-1)
=PGCD(a^(pgcd(m,n))-1 , 0)= a^(pgcd(m,n))-1 . J'espere que c Clair !