Problème de la semaine N°22
Pour n>0 , f(n)>1
f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-168
f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)f(n+4)-168
==> f(n+2)-f(n)=f(n+3)(f(n+4)-f(n+2))
On pose a(n)=|f(2n+2)-f(2n)| et b(n)=|f(2n+1)-f(2n-1)| pour tout n>0.
On a alors 2a(n+1)=< a(n) (*). Donc lim a(n)=0
Mais, la suite (a(n)) est à valeurs entieres elle est alors stationnaire.
D'après (*) la constante ne peut être que nulle.
Donc a(n)=0 à partir d'un certain entier n_0.
Donc : f(2n)= f(2n-2))=...=f(2n_0+2))=f(2n_0)=a pour n>=n_0
De la même façon il existe n_1 > 1 tel que b(n)=0.
Donc f(2n+1)=f(2n-1)=...=f(2n_1+3)=f(2n_1+1)=b pour n>=n_1
si n>max(n_0,n_1),
f(2n)+f(2n+1)=f(2n+2)f(2n+3)-168
a+b=ab-168 et a,b entiers >1.
(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=13²
===> (a=b=14) ou (a=2 et b=170) ou (a=170 et b=2)
Si a=b=14, pour n tel que f(n+1)=f(n+2)=f(n+3)=14
on a f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-168
alors f(n)= 14²-14-168=14
On refait la même chose pour n-1, on trouve f(n-1)=14
ainsi de suite on a donc f(n)=14 pour tout n>0.
Si a=2 et b=170, pour n tel f(2n+2)=2 et f(2n+1)=f(2n+3)=170
f(2n)+170=340-168=172 ==> f(2n)=2
f(2n-1)+2=340-168=172 ==> f(2n-1)=170
ainsi de suite on aura:
f(2n)=2 et f(2n-1)=170 pour tout n>0.
Si a=170 et b=2, c'est le même cas ci dessus en échangeant a et b.
Donc f(2n-1)=2 et f(2n)=170 pour tout n>0.
A+
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