un carré parfait

a et b deux entiers naturels tels que
ab divise a^2+b^2-a
montrer que a est un carré parfait

Bonjour Samir,

Puisque personne ne répond, voilà ma proposition :

Soit p premier présent à la puissance m>0 dans la décomposition de a en facteurs premiers et à la puissance n dans la décomposition de b en facteurs premiers.

Donc p^(m+n) divise ab, donc a^2+b^2-a.

Mais p^m divise a^2 - a.
Donc p^m divise b^2.
Donc p divise b.
Donc n > 0.
Donc p^(m+1) divise a^2+b^2-a.
Mais p^(m+1) ne peut diviser a^2 - a = a(a-1)
Donc p^(m+1) ne peut diviser b^2

Ainsi, p^m divise b^2 mais p^(m+1) ne divise pas b^2. Donc m=2n. Donc m est pair et a est bien un carré parfait.

CQFD.

Salut Samir est ce que 2-a C'est l'exposant ou bien 2 est l'exposant et -a un terlme???

2 est l'exposant et -a un terme

pco a écrit:

Bonjour Samir,

Puisque personne ne répond, voilà ma proposition :

Soit p premier présent à la puissance m>0 dans la décomposition de a en facteurs premiers et à la puissance n dans la décomposition de b en facteurs premiers.

Donc p^(m+n) divise ab, donc a^2+b^2-a.

Mais p^m divise a^2 - a.
Donc p^m divise b^2.
Donc p divise b.
Donc n > 0.
Donc p^(m+1) divise a^2+b^2-a.
Mais p^(m+1) ne peut diviser a^2 - a = a(a-1)
Donc p^(m+1) ne peut diviser b^2

Ainsi, p^m divise b^2 mais p^(m+1) ne divise pas b^2. Donc m=2n. Donc m est pair et a est bien un carré parfait.

CQFD.

comment tu as fait pour deduire que n etait le double de n devloppes stp

samir a écrit:

a et b deux entiers naturels tels que
ab divise a^2+b^2-a
montrer que a est un carré parfait

voiçi ma methode que jaimerais b1 savoir selle est juste ou po

posons a=pgcd(x et y)
alors existe x' et y' premiers entre eux tel que x=ax' et y=ay' ok.
on a xy/x²+y²-x
==> a²x'y'/a²(x'²+y'²)-ax'
==>ax'y'/a(x'²+y'²)-x' (*)
a/x'y'a et (*) ==> a/x'
alors existe x" (premier avec y') et x'=ax"
alors (*) devient a²x"y'/a(a²x"²-x")+y'² ==>x"/y'²
et puisque x" et y' premier entre eux alors x" et y'² premiers entre eux aussi et x"/y'² ==>x" =1
ALORS x=ax'=a²x"=a²
donc x=a² (a=x^y)
.

Bonjour,

mouadpimp a écrit:

pco a écrit:

Ainsi, p^m divise b^2 mais p^(m+1) ne divise pas b^2. Donc m=2n. Donc m est pair et a est bien un carré parfait.

CQFD.

comment tu as fait pour deduire que n etait le double de n devloppes stp

Par définition, n est la puissance de p dans b.
Donc 2n est la puissance de p dans b^2.
Mais je montre que la puissance de p dans b^2 est m (puisque p^m divise b^2 mais p^(m+1) ne le divise pas).
Donc m=2n.

--
Patrick

Bonjour,

selfrespect a écrit:

voiçi ma methode que jaimerais b1 savoir selle est juste ou po :

...

==>ax'y'/a(x'²+y'²)-x' (*)
a/x'y'a et (*) ==> a/x'
alors existe x" (premier avec y') et x'=ax"
alors (*) devient a²x"y'/a(a²x"²-x")+y'² ==>x"/y'²

Non, (*) devient a²x"y'/a(a²x"²-x")+ay'²
Il faut donc d'abord diviser par a pour avoir :

ax"y'/(a²x"²-x")+y'² ==>x"/y'²

et la suite de ton raisonnement me paraît OK

--
Patrick

pco a écrit:

Bonjour,

selfrespect a écrit:

voiçi ma methode que jaimerais b1 savoir selle est juste ou po :

...

==>ax'y'/a(x'²+y'²)-x' (*)
a/x'y'a et (*) ==> a/x'
alors existe x" (premier avec y') et x'=ax"
alors (*) devient a²x"y'/a(a²x"²-x")+y'² ==>x"/y'²

Non, (*) devient a²x"y'/a(a²x"²-x")+ay'²
Il faut donc d'abord diviser par a pour avoir :

ax"y'/(a²x"²-x")+y'² ==>x"/y'²

et la suite de ton raisonnement me paraît OK

--
Patrick

ok merçi Mr pco

Bonjour ;
On a : ab | a²+b²-a donc a²+b²-a = kab soit a(kb-a+1)=b²
et comme a et kb-a+1 sont premiers entre eux (aucun diviseur premier commun)
on conclut que les entiers a et kb-a+1 sont des carrés parfaits (sauf erreur bien entendu)

Bonjour, elhor_abdelali

elhor_abdelali a écrit:

et comme a et kb-a+1 sont premiers entre eux (aucun diviseur premier commun)

C'est vrai mais mériterait une ou deux lignes d'explications.

Slm,Bonjour

Ici ma solution:

Donc on a ab|a(a-1)+b² et (a,b)=k
On peut dire a=a'k, b=b'k
Maintenant on a: a'b'k²|a'k (a'k-1)+b'²k²==> a'b'k|a'(ak'-1)+b'²k
C'est clair que a'=a"k donc apres on divise par k on a :
a"b'k|a"(a"k²-1)+b'²
Mais a" ne peut pas diviser b'² parce que on a dit (a,b)=k, donc a"=1

a=a'k=a"k²=k²

Correcte?

merci

Oui Amazigh , elle me parait correcte mais je te fais quand même remarquer que c'est la même
(à quelques notations prés) que celle de selfrespect (légèrement rectifiée par pco)

J'ai posté la solution sans regarder, tu as raison.