Carré parfait

Soient a,b et c des entiers >0 , premiers entre eux dans leur ensemble,
et tels que 1/a+1/b=1/c .
Montrer que a+b est un carré parfait

C'est un problème classique, et assez simple.

Déjà, une première étape consiste à remarquer que la condition est équivalente à : (a+b)c = ab.

et après cette remarque qu'est ce qu'on va faire?

Montrer que a+b=pgcd(a,b)²

pgcd(a,b)=1????

Conan a écrit:

pgcd(a,b)=1????

Attention! pgcd(a,b,c)=1 =/=> pgcd(a,b)=1

on a c(a+b)=ab
en posant pgcd(a,b)=d et a=da',b=db' avec a' et b' premier entre eux
on a donc (a'+b')c=a'b'd ,on peut facilement demontrer que a'b' et a'+b' sont premier entre eux,donc d aprés th de Gauss on a c/a'b' ,et a'b'/c d ou
a'b'=c et par consequent a'+b'=d ,d'ou la relation a+b=d² ,cqfd