un carré parfait

boukharfane radouane a écrit:

x,y et z trois entiers naturels tels que x²+y²+z²=1993.montretr que x+y+z est un carré parfait.

Bonjour boukharfane radouane,

Je pense que vous avez dû faire une erreur dans l'énoncé :
2²+15²+42²=1993 mais 2+15+42=59 pas carré parfait
2²+30²+33²=1993 mais 2+30+33=65 pas carré parfait
11²+24²+36²=1993 mais 11+24+36=71 pas carré parfait
...

En fait je crois qu'il n'y a aucun cas où x+y+z soit un carré parfait.

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Patrick

salut
on remarque que :
♠(x,y,z) solution ==>
♦deux parmi eux (et seulemnt deux) sont devisible par 3.
♦ deux parmi eux et seulemnt deux sont paires (1993=1[4])
♠ E<==> (x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=1993
♦alors (x+y+z)² =1[12]. (car xy+yz+zx est devisible par 6 !! vous pouvez le voir en distincant tous les cas possibles "fastidieux !")
alors x+y+z=1[12] ou x+y+z=-1[12].
E ==> 77>=x+y+z>=45 ( pour la majoration on utiluse jensson sur x-->x².) on trouve enfin
x+y+z£{47,49,59,61,71,73}
mais je narrive pas a deduire que c est egale à 49

Bonjour Selfrespect,

selfrespect a écrit:

♦alors (x+y+z)² =1[12].
alors x+y+z=1[12] ou x+y+z=-1[12].

Non, on peut aussi avoir x+y+z=5[12] ou x+y+z=-5[12].

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Patrick

boukharfane radouane a écrit:

x,y et z trois entiers naturels tels que x²+y²+z²=1993.montretr que x+y+z est un carré parfait.

En fait, il n'y a que les sept triplets suivants :

0^2 + 12^2 + 43^2 = 1993, avec 0 + 12 + 43 = 55
2^2 + 15^2 + 42^2 = 1993, avec 2 + 15 + 42 = 59
2^2 + 30^2 + 33^2 = 1993, avec 2 + 30 + 33 = 65
11^2 + 24^2 + 36^2 = 1993, avec 11 + 24 + 36 = 71
15^2 + 18^2 + 38^2 = 1993, avec 15 + 18 + 38 = 71
16^2 + 21^2 + 36^2 = 1993, avec 16 + 21 + 36 = 73
24^2 + 24^2 + 29^2 = 1993, avec 24 + 24 + 29 = 77

Et aucun ne donne un carré parfait.

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Patrick

salut pco mois je ne suis pas tt à fait sur de ma démonstration mais j'ai pu démontrer que :
x²+y²+z²=1993=>x+y+z=49 qui est un carré parfait.

en utilisant un petit programme, je trouve que la somme x+y+z prend les valeurs :

77
65
73
71
71
59
55

donc elle n est jamais carré parfait...

boukharfane radouane a écrit:

salut pco mois je ne suis pas tt à fait sur de ma démonstration mais j'ai pu démontrer que :
x²+y²+z²=1993=>x+y+z=49 qui est un carré parfait.

Désolé, boukharfane radouane, mais votre démonstration est nécessairement fausse puisque on vous a donné plein de contre-exemples.

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Patrick

désolé Mr pco ,j'ai fait une erreur.L 'énoncé est corrigé.!!

comme tu la fais Patric , on peux cherché (x,y,z) tel que x²+y²+z² = 1993

ensuite , on etudie chaque cas