théorème : concourance mixte

les notations :
ABC un triangle
AB = c , AC = b , BC = a
h(A) : la hauteur issue de A
m(B) : la médiane issue de B
b(C) : la bissectrice intérieure issue de C
...................
THEOREME :

h(A) , m(B) et b(C) sont concourantes <======> cosC = a / (a+b)

................................................................................................
A VOUS la démonstration..!

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houssa a écrit:

les notations :
ABC un triangle
AB = c , AC = b , BC = a
h(A) : la hauteur issue de A
m(B) : la médiane issue de B
b(C) : la bissectrice intérieure issue de C
...................
THEOREME :

h(A) , m(B) et b(C) sont concourantes <======> cosC = a / (a+b)

................................................................................................
A VOUS la démonstration..!

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Application directe du théorème de Ceva !

oui RASHID c'est à toi de l'appliquer....

............................

houssa a écrit:

oui RASHID c'est à toi de l'appliquer....

............................

Comme vous voulez !

Soit B' le point d'intersection de m(b) et AC,A' est l'intersection de h(A) et BC et C' l'intersection de b(C) et AB;

(=>)

h(A) , m(B) et b(C) sont concourantes,

Alors (A'B/A'C).(B'C/B'A).(C'A/C'B)=1

Alors A'B/A'C = C'B/C'A = BC/AC (car B'A=B'C)

Alors BC/A'C=(AC+BC)/AC

Or,on sait que A'C=AC.cosC,d'ou cosC = BC/(BC+AC) = a / (a+b).

(<=)

cosC = a / (a+b)

Alors cosC = BC/(BC+AC) d'ou A'C=AC.cos(C)=(BC.AC)/(AC+BC) et A'B=BC-CA'=(BC²)/(AC+BC)

Alors (A'B/A'C).(B'C/B'A)=(A'B/A'C)=(BC/AC) ce qui donne (A'B/A'C).(B'C/B'A).(AC/AB)=(A'B/A'C).(B'C/B'A).(C'A/C'B)=1,

Ce qui conclut la preuve.

parfait !!!!!

bravo
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