équation dans INxINxIN

trouver les triplets (x,y,z) solutions dans INxINxIN

de l'équation : 1/(x+2) + 1/(y+2) = 1/2 + 1/(z+2)

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Posons x+2 = X, y+2 = Y et z+2 = Z.

L'équation devient : 1/X + 1/Y - 1/Z = 1/2.

==> 2(YZ + XZ - XY) = XYZ.

==> 2Z(X+Y) = XY(Z+2)

==> 2Z/(Z+2) = XY/(X+Y)

==> (2z+4)/(z+4) = (xy+2x+2y+4)/(x+y+4)

==> 1 + z/(z+4) = 1 + (x+y+xy)/(x+y+4)

==> z/(z+4) = (x+y+xy)/(x+y+4)

Puisque z/(z+4) < 1, ==> x + y + xy < x + y + 4

==> xy < 4.

Donc les couples (x;y) pouvant être des solutions sont (1;1), (1;2), (1;3) et inversement ainsi que (0;y) et (x;0).

Pour (x;y) = (1;1), nous revenons à l'égalité initiale et nous trouvons z = 4.
Pour (x;y) = (1;2), nous trouvons z = 10.
Pour (x;y) = (1;3), nous trouvons z = 28.
Pour (x;y) = (0;n), nous trouvons z = n.

Donc S = { (0;n;n), (n;0;n), (1;1;4), (1;2;10), (2;1;10), (1;3;28), (3;1;28) }

il manque (0,0,0) (0,2,2) (0,3,3).........

le cas xy=0 < 4 t'a échappé

x=0 ===> y=z=a € IN
y=0 ====>x=z=b € IN

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