Déterminer toutes les fonctions f

Déterminer toutes les fonctions f : R+------>R+ telles que pour tout x, y > 0 on a
f(xy) <= (xf(y) + yf(x))/2

Divisons l'équation fonctionnelle par xy,en posant g(x)=f(x)/x on obtient g(xy)(=(g(x)+g(y))/2 en posant encore h(x)=g(exp(x)) et x=exp(a) le probleme revient a résoudre h(x+y)(=(h(x)+h(y))/2 pour tout x et y dans R.
Pour y=0 on obtient h(x)(=h(0) pour tout x dans R
Pour y=-x on a h(0)(=(h(x)+h(-x))/2
On en déduit que h(x)(=h(0)(=(h(x)+h(-x))/2 d ou h(x)(=h(-x)
Par symétrie on a h(x)=h(-x)
Or h(x)(=h(0)(=(h(x)+h(-x))/2=h(x) ainsi h=cte et f est linéaire.
Réciproquement les fct linéaires sont solutions
CQFD sauf erreur