Problème d'aout 2009

Soit {a_f1(n)}, . . ., {a_fk(n)} des sous-suites d'une suite {a_n} telles que les suites {f1(n)}, . . ., {fk(n)}
soient deux à deux disjointes et que leur union forme la suite {n}. ( k entier >0 fixé).
1) Montrer que si S, S1, . . ., Sk sont les ensembles des valeurs d’adhérence respectives des suites
{a_n}, {a_f1(n)}, . . ., {a_fk(n)}, alors S = S1 ∪ · · · ∪ Sk.
En conclure que si toutes les sous-suites {a_f1(n)}, . . ., {a_fk(n)} convergent vers a, la suite {a_n} converge alors aussi vers a.

2) Le résultat précédent est-il vrai dans le cas d’une infinité de sous-suites ?

3) Prouver que si toute sous-suite {a_nk} d’une suite {a_n} contient une sous suite {a_nki } convergente vers a, la suite {an} converge alors aussi vers a.

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svp monsieur Attioui,pouvez vous écrire le problème avec latex ou tout autre logiciel!