(autriche 2001)

EXO:

pour quelles valeurs de m € IN , l'équation : 3.X^3 - 3.X² + m = 0

admet des solutions rationnelles.

..............................................

Posons:
P(x)=3X^3-3X²+m
avec X=p/q; gcd(p,q)=1
P(x)=0 <==>3p^3=q(3p²-mq²)
mais gcd(p,q^3)=1 donc q divise 3.
si q =3 vous aurez 3/p contradiction.
donc q=1 et donc X est une solution entière.
donc l'équation admet une solution rationnelle si et seulement si elle est entière.
X est solution entière pour une valeur de m ==> m=3X²(1-X)
Donc si l'équation admet une solution entière alors m est de la forme 3a²(1-a) avec a un entier négatif.
Maintenant si m=3a²(1-a) pour une certain entier négatif alors l'équation admet une seule solution et entière égale à a(X=a) Prouvons le!
3X^3-3X²+3a²(1-a)=3(X^3-a^3)+3(a²-x²)=3(X-a)(x²+ax+a²-a-x)
mais si x²+x(a-1)+a²-a=0 alors il est simple de vérifier que le déterminant est négatif donc pas de solution.
m=3a²(1-a) avec a<=0 avec a entier.

beautiful mind a écrit:

Posons:
P(x)=3X^3-3X²+m
avec X=p/q; gcd(p,q)=1
P(x)=0 <==>3p^3=q(3p²-mq²)
mais gcd(p,q^3)=1 donc q divise 3.
si q =3 vous aurez 3/p contradiction.
donc q=1 et donc X est une solution entière.
donc l'équation admet une solution rationnelle si et seulement si elle est entière.
X est solution entière pour une valeur de m ==> m=3X²(1-X)
Donc si l'équation admet une solution entière alors m est de la forme 3a²(1-a) avec a un entier négatif.
Maintenant si m=3a²(1-a) pour une certain entier négatif alors l'équation admet une seule solution et entière égale à a(X=a) Prouvons le!
3X^3-3X²+3a²(1-a)=3(X^3-a^3)+3(a²-x²)=3(X-a)(x²+ax+a²-a-x)
mais si x²+x(a-1)+a²-a=0 alors il est simple de vérifier que le déterminant est négatif donc pas de solution.
m=3a²(1-a) avec a<=0 avec a entier.

c'est pas q qui divise 3 , mais c'est 3 qui divise q

Desolé !! car q aussi divise 3 , donc on peut deduire que q=3 ^^

0 aussi par remarque , (XD)