OIM 2001

nnn voilà le vrai énnoncé
http://imo.wolfram.com/problemset/IMO2001_solution2.html

BJR y-a-ss-i-n-e !!!
Merci d'avoir posé cet Exo d'Olympiades et moi qui ne connait ni CS , ni IAG ou autres inégalité salvatrice dans ce genre d'exos !!!
Je n'aurais jamais pu passer une quelconque selection d’Olympiade , je ne suis pas fait pour celà !!
Je m'en vais te proposer une solution TOUT A FAIT ORDINAIRE basée sur l'étude de fonction !!!
En effet a, b et c sont donnés et fixés dans IR+* et c'est t ( ton LAMBDA que je n'arrive pas à écrire !!) qui varie .
Je considère la fonction da la variable t suivante :
t --------> F(t)=SIGMA CIRCULAIRE{a/{a^2+tbc}
que l’on considère ici pour t>3
Elle est continue et dérivable sur le domaine ]3;+oo[ et :
F'(t)=(-abc/2) SIGMA CIRCULAIRE{1/{a^2+tbc}^(3/2)}
Cette dérivée étant manifestement négative alors F est STRICTEMENT DECROISSANTE et de là on a F(t) <F(3) pour tout t>3 .
Par conséquent on est amené à prouver ceci :
F(3)<2 c'est-à-dire :
SIGMA CIRCULAIRE{a/{a^2+tbc}=<2 pour a,b et c >0
Si un Olympien , tel Neutrino ,veut bien continuer ….
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

BJR y-a-ss-i-n-e !!!
Merci d'avoir posé cet Exo d'Olympiades et moi qui ne connait ni CS , ni IAG ou autres inégalité salvatrice dans ce genre d'exos !!!
Je n'aurais jamais pu passer une quelconque selection d’Olympiade , je ne suis pas fait pour celà !!
Je m'en vais te proposer une solution TOUT A FAIT ORDINAIRE basée sur l'étude de fonction !!!
En effet a, b et c sont donnés et fixés dans IR+* et c'est t ( ton LAMBDA que je n'arrive pas à écrire !!) qui varie .
Je considère la fonction da la variable t suivante :
t --------> F(t)=SIGMA CIRCULAIRE{a/{a^2+tbc}
que l’on considère ici pour t>3
Elle est continue et dérivable sur le domaine ]3;+oo[ et :
F'(t)=(-abc/2) SIGMA CIRCULAIRE{1/{a^2+tbc}^(3/2)}
Cette dérivée étant manifestement négative alors F est STRICTEMENT DECROISSANTE et de là on a F(t) <F(3) pour tout t>3 .
Par conséquent on est amené à prouver ceci :
F(3)<2 c'est-à-dire :
SIGMA CIRCULAIRE{a/{a^2+tbc}<2 pour a,b et c >0
Si un Olympien , tel Neutrino ,veut bien continuer ….
A+ LHASSANE

bonne approche , mais je me demande monsieur est-ce que f(x)=x^(-1/2) est convexe ou concave (je sais ps cmt dériver ila sma7ti )

BJR Neutrino !!
Oulala !! Tu ne sais pas dériver ou pas encore dériver ??
f'(x)=(-1/2).x^(-3/2) puis f''(x)=(3/4).x^(-5/2) si x est dans IR*+
Ta fonction f est donc CONVEXE sur IR+* .
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

BJR Neutrino !!
Oulala !! Tu ne sais pas dériver ou pas encore dériver ??
f'(x)=(-1/2).x^(-3/2) puis f''(x)=(3/4).x^(-5/2) si x est dans IR*+
Ta fonction f est donc CONVEXE sur IR+* .
A+ LHASSANE

nn pas encore ,

Merci

A ce que je devine , tu voudrais écrire :
F(t)=SIGMA CIRCULAIRE{a/{a^2+tbc}
=SIGMA CIRCULAIRE {f(1 + t.bc/a^2} ??
Puis utiliser la convexité de f ???
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

A ce que je devine , tu voudrais écrire :
F(t)=SIGMA CIRCULAIRE{a/{a^2+tbc}
=SIGMA CIRCULAIRE {f(1 + t.bc/a} ??
Puis utiliser la convexité de f ???
A+ LHASSANE

je pensais que si f est concave on peut utilise jensen ( sens inverse) , enfin je crois

Donc selon Mr Bourbaki , il suffit de prouver l'inégalité au cas t=3, après avoir bcp réfléchi , jé trouvé une idéé qui peut etre utille,

remarquons que

a²/(a²+3bc)= 1-3bc/(a²+3bc) , puisque l'inégalité est homogène alors on peut supposer sans perte de généralité que : abc=1

==> a²/(a²+3bc)= 1-3/(a^3+3) = a^3/(a^3+3)
==> a/sqrt{a²+3bc} = { a^3/(a^3+3)}^1/2
je vs propose alors d'étudier la fct f(x)= {x^3/(x^3+3)}^1/2 , (j'éspère qu'elle concave ), c juste une idéé et j'espere qu'elle sera utile
A+

BSR Neutrino !!!
C'est DELIRANT le calcul de f" !!
J'abandonne surtout qu'après , il faut étudier son signe !!
Cependant , avec MAPLE , f serait vaguement concave mais ce n'est pas une PREUVE !!!!!
A+ LHASSANE

neutrino a écrit:

Donc selon Mr Bourbaki , il suffit de prouver l'inégalité au cas t=3, après avoir bcp réfléchi , jé trouvé une idéé qui peut etre utille,

remarquons que

a²/(a²+3bc)= 1-3bc/(a²+3bc) , puisque l'inégalité est homogène alors on peut supposer sans perte de généralité que : abc=1

==> a²/(a²+3bc)= 1-3/(a^3+3) = a^3/(a^3+3)
==> a/sqrt{a²+3bc} = { a^3/(a^3+3)}^1/2
je vs propose alors d'étudier la fct f(x)= {x^3/(x^3+3)}^1/2 , (j'éspère qu'elle concave ), c juste une idéé et j'espere qu'elle sera utile
A+

La fonction racine est Concave et Aprés?

Alaoui.Omar a écrit:

neutrino a écrit:

Donc selon Mr Bourbaki , il suffit de prouver l'inégalité au cas t=3, après avoir bcp réfléchi , jé trouvé une idéé qui peut etre utille,

remarquons que

a²/(a²+3bc)= 1-3bc/(a²+3bc) , puisque l'inégalité est homogène alors on peut supposer sans perte de généralité que : abc=1

==> a²/(a²+3bc)= 1-3/(a^3+3) = a^3/(a^3+3)
==> a/sqrt{a²+3bc} = { a^3/(a^3+3)}^1/2
je vs propose alors d'étudier la fct f(x)= {x^3/(x^3+3)}^1/2 , (j'éspère qu'elle concave ), c juste une idéé et j'espere qu'elle sera utile
A+

La fonction racine est Concave et Aprés?

well , on applique Jensen

ah Ouéé! vas y Montre nous alors ...

Alaoui.Omar a écrit:

ah Ouéé! vas y Montre nous alors ...

Je connais Jensen ghir bessmiya , j'ai fais un autre essai, bon:

il suffit de demontrer que sum {(a^3/(a^3+3)^1/2 }<2 , avec abc=1,

posons a^3=x, b^3=y,c^3=z , avec xyz=1

l'inégalité devient :S= sum {( x/(x+3))^1/2}<2

or S <= sum{ x/(x+3)+1/4} (AM-GM)

il suffit de démontrer que : sum{ x/(x+3} < 5/4 (xyz=1)

cette dernière inégalité parait juste , car juskà mnt je né trouvé aucun contre exemple , mais demain je vé essayer de la démontrer