olympiad 2001-2002 inegalite

Soit n un entier strictement positif et soient des entiers strictement positifs tous distincts.
Montrer que


bye

juste une idée i don't know if it is worthed :
on pose a_n>a_n-1>...>a_2>a_1> ( puisque on a a_1,a_2,....,a_n sont des nombres entiers stristement positrifs et distincs.)
donc on a_1>=1 et puisque a_2>a_1donc a_2>1 alors a_2>=2
et puisque a_3>a_2 on a a_3>2 donc a_3>=3 , de meme jusqua a_n>=n
donc on a pour tout i de (0,1,2...,n) a_i>=i
donc (a_1- 1)/1² + (a_2 -2)/2² + ...+ (a_n -n)/n²>=0
donc:
a_1/1 + a_2² + a_3/3² ... + a_n/n²>=1/1 + 1/2 +1/3 +..+1/n

est ce just?

rim hariss a écrit:

juste une idée i don't know if it is worthed :
on pose a_n>a_n-1>...>a_2>a_1> ( puisque on a a_1,a_2,....,a_n sont des nombres entiers stristement positrifs et distincs.)
donc on a_1>=1 et puisque a_2>a_1donc a_2>1 alors a_2>=2
et puisque a_3>a_2 on a a_3>2 donc a_3>=3 , de meme jusqua a_n>=n
donc on a pour tout i de (0,1,2...,n) a_i>=i
donc (a_1- 1)/1² + (a_2 -2)/2² + ...+ (a_n -n)/n²>=0
donc:
a_1/1 + a_2² + a_3/3² ... + a_n/n²>=1/1 + 1/2 +1/3 +..+1/n

est ce just?

salut c'est faux vous avez pas le droit de dire que a1<a2...<an
il ya pcb de cas pour faire l'ordre a c'est nombre
et b1 plus je crois qu'il est deja poste

bonjour Mohamed

je crois qu'elle a le droit de les classer par ordre , puisqu'ils sont distincts

Conan a écrit:

bonjour Mohamed

je crois qu'elle a le droit de les classer par ordre , puisqu'ils sont distincts

nn il n'avais pas de droit je peux donne un autre ordre
an<a(n-1)<...<a1 à la place de ce qu'il a ecrit et il ya d'autre ordre
an a(n-1)..a1 sont distinct ne veux dire pas que a1<a2...<an

(a1/1+a2/2²+...an/n²)(1/a1...1/an)>(1+1/2....1/n)²
=>(a1/1+a2/2²+...an/n²)>(1+1/2....1/n)²/(1/a1...1/an)
(1/a1...1/an)<1+1/2..1/n (une chose qui est claire)
donc (a1/1+a2/2²+...an/n²)>1+1/2...1/n

une petit idee(j'en suis pas sur) mais 99% est juste
{a1...an}={b1...bn} et b1<b2..<bn
est ce que la minimal de cette formule (a1/1+a2/2²+...an/n²)
et quand ai=bi que soit i de [1;n]

salut,
plus clair :
on considère un arrangement {b_n,....,b_1} des a_i ds un ordre croissant donc b_n >= n
alors : a_1/1 + a_2/2² + ...... + a_n/n² >= b_1/1 + b_2/2² + ...... + b_n/n² >= 1 + 1/2 + ......... + 1/n
d'où le résultat !

a_1/1 + a_2/2² + ...... + a_n/n² >= b_1/1 + b_2/2² + ...... + b_n/n² IL FAUT QUE TU LE MONTRE

ah oui tu veux dire l'inegalite de reordonement dsl makntch 3rafha
je crois mnt que c'est en utilise cette inegalite l'exercice va etre tres simple que la methode que j'avais utilise

we merci pour la reponse

IMO 75
on na pas droit a ordonner les variables puisque linégalité nest pas symétrique